Ecuaciones de Lagrange de segundo tipo

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Las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo son ecuaciones diferenciales de movimiento de un sistema mecánico , obtenidas aplicando el formalismo lagrangiano .

Tipo de ecuaciones

Si un sistema mecánico holonómico se describe mediante un Lagrangiano ( son coordenadas generalizadas , t es el tiempo , el punto denota diferenciación con respecto al tiempo) y solo actúan fuerzas potenciales en el sistema , entonces las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo tienen la forma $L(q_{i},{\dot q}_{i},t)$ $q_{yo}$

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\parcial L}{\parcial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\parcial L}{\parcial q_{i}}}=0

donde i = 1, 2, … n ( n es el número de grados de libertad del sistema mecánico). El Lagrangiano es la diferencia entre las energías cinética y potencial del sistema.

En presencia de fuerzas generalizadas tanto potenciales ( ) como no potenciales ( ) , aparece el lado derecho: ${\displaystyle Q_{i}^{p))$ ${\displaystyle Q_{i}^{n))$

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\parcial L}{\q_{i}}}=Q_{i}^{n}} parcial

Las fuerzas no potenciales incluyen, por ejemplo, la fuerza de fricción . En este caso, las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo se pueden reescribir en una forma ligeramente diferente:

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\parcial T}{\parcial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\parcial T}{\parcial q_{i}}}=Q_{i}

donde es la energía cinética del sistema, es la fuerza generalizada . $T(q_{i},{\dot q}_{i},t)$ $Q_{i}^{p}+Q_{i}^{n}=Q_{i}$

Derivación de ecuaciones

Las ecuaciones de Lagrange en mecánica se obtienen a partir de las leyes de la dinámica de Euler (equilibrio de momento y momento angular) bajo ciertas restricciones en el sistema: solo deben estar presentes en él restricciones holonómicas ideales. Este es un caso particular, aunque muy importante, de los sistemas mecánicos. Para otros casos se obtienen modificaciones de las ecuaciones de Lagrange [1] .

Si el principio de acción mínima es relevante para el sistema en consideración (lejos de que todos los sistemas físicos lo obedezcan), la conclusión puede extraerse de manera diferente. En la mecánica lagrangiana , la derivación de ecuaciones se lleva a cabo sobre la base de este principio, que establece que los movimientos reales se distinguen de todos los concebibles por la condición de que el funcional

S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q_{i},{\dot q}_{i},t)dt

llamada acción , toma un valor extremo (suficientemente pequeño - mínimo) sobre la trayectoria del movimiento real del sistema ( y - los momentos de tiempo inicial y final ) [2] . Aplicando el esquema de optimización estándar al funcional de acción, obtenemos para él las ecuaciones de Lagrange-Euler , que se denominan ecuaciones de Lagrange de segunda especie para un sistema mecánico. A continuación se muestra la derivación de la ecuación para un sistema con una coordenada y velocidad generalizadas. ${\ estilo de visualización t_{2}-t_{1}}$ ${\ estilo de visualización t_ {1}}$ ${\ estilo de visualización t_ {2}}$

Suponemos que la variación en los límites es cero:

\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0

Cambiar acción en transición de estado a sí $t_{1}$ $t_{2}$

\delta S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q+\delta q,{\dot q}+\delta {\dot q},t)dt-\ int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\dot q},t)dt

Expandiendo esta diferencia de potencias, obtenemos:

\delta S=\delta \int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\dot q},t)dt

Variando esta expresión se obtiene:

\int _{{t_{1))}^{{t_{2))}\left({\frac {\parcial L}{\parcial q))\delta q+{\frac {\parcial L}{\ parcial {\dot q))}\delta {\dot q}\right)dt=0

Observando que , integramos el segundo término por partes: $\delta {\dot q}={\frac {d}{dt))\delta q$

\delta S={\frac {\parcial L}{\parcial {\dot q))}\delta q{\Bigl .}{\Bigr |}_{{t_{1))}^{{t_{2 }}}+\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\left({\frac {\parcial L}{\parcial q}}-{\frac {d}{dt )){\frac {\parcial L}{\parcial {\dot q))}\right)\delta qdt=0

El primer término es igual a cero según la primera fórmula de derivación. El segundo término puede ser igual a cero solo si el integrando es igual a cero. Así, obtenemos la ecuación de Lagrange deseada:

{\frac {d}{dt)){\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q))))-{\frac {\parcial L}{\parcial q))=0

Véase también

Ecuaciones de Lagrange de primera clase

Notas

↑ Butenin BV Introducción a la mecánica analítica. - M.: Nauka, 1971. - Circulación 25.000 ejemplares. — págs. 56 - 59
↑ Medvedev BV Inicios de la física teórica. Mecánica, teoría de campos, elementos de mecánica cuántica. — M.: Fizmatlit, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 . - Tirada 2.000 ejemplares. — P. 19 - 23