Potencial generalizado

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Potencial generalizado : el concepto de mecánica clásica , utilizado para el cálculo conveniente de fuerzas generalizadas que dependen de velocidades generalizadas [1] .

Redacción

Considere un sistema mecánico con grados de libertad, con energía cinética y fuerzas generalizadas . Aquí en todas partes . Considere la expresión de la energía potencial en forma de función . Requerimos que las ecuaciones de Lagrange $s$ $T$ ${\ Displaystyle Q_ {m}}$ $m=1,2,...,s$ $V=V(q_{1},q_{2},...,q_{s},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2}, ...,{\punto {q}}_{s},t)$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\parcial T}{\parcial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\parcial T}{\parcial q_{m}}}=Q_{m}$ ,

parecía

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\parcial L}{\parcial q_{m))}=0$ , donde , es el potencial generalizado. ${\ estilo de visualización L = TV}$ $V$

Un potencial generalizado es una función que satisface la ecuación $V$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\parcial V}{\parcial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\parcial V}{\parcial q_{m}}}=Q_{m}$ ,

Encontremos la dependencia de la función de las velocidades generalizadas. $V$

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\parcial V}{\parcial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\parcial V}{\parcial q_{m))}=\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\parcial ^{2}V}{\parcial {\dot {q }}_{m}\parcial {\dot {q}}_{\mu }}}{\ddot {q}}_{\mu }+\sum_{\mu =1}^{s}{\ frac {\parcial ^{2}V}{\parcial {\dot {q}}_{m}\parcial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac { \parcial ^{2}V}{\parcial {\dot {q}}_{m}\parcial t}}-{\frac {\parcial V}{\parcial q_{m}}}$

Dado que las fuerzas generalizadas no dependen explícitamente de las aceleraciones generalizadas, el potencial generalizado solo puede ser una función lineal de las velocidades generalizadas:

${\displaystyle V=\Pi (q_{m},t)+\sum_{\mu =1}^{s}\Pi_{\mu}(q_{m},t){\dot {q} }_{\ mu ))$

Más lejos:

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\parcial V}{\parcial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\parcial V}{\parcial q_{m))}={\frac {d\Pi _{m)){dt))-{\frac {\parcial}{\parcial q_{m))} \left[\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }{\dot {q))_{\mu}+\Pi \right]=\sum _{\mu =1 }^{s}{\frac {\parcial \Pi _{m}}{\parcial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac {\parcial \Pi _ {m)){\t parcial))-\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\parcial \Pi _{\mu )){\parcial q_{m))}{\dot {q))_{\mu }-{\frac {\parcial \Pi }{\parcial q_{m))}=-{\frac {\parcial \Pi }{\parcial q_{m))}+\ sum _{\mu =1}^{s}\left({\frac {\parcial \Pi _{m)){\parcial q_{\mu ))}-{\frac {\parcial \Pi _{\ mu )){\parcial q_{m))}\right)+{\frac {\parcial \Pi _{m)){\parcial t))$ .

De este modo:

$Q_{m}=-{\frac {\parcial \Pi }{\parcial q_{m))}+\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{ \dot {q}}_{\mu }+{\frac {\parcial \Pi _{m}}{\parcial t}}$ , dónde ${\ Displaystyle \ gamma _ {m \ mu} = {\ frac {\ parcial \ Pi _ {m}} {\ parcial q_ {\ mu}}} - {\ frac {\ parcial \ Pi _ {\ mu}} {\ parcial q_{m))))$

Si las funciones no dependen explícitamente del tiempo, entonces las fuerzas generalizadas se componen de fuerzas potenciales y fuerzas giroscópicas . [2] ${\ estilo de visualización \ Pi _ {m}}$ ${\displaystyle -{\frac {\parcial \Pi }{\parcial q_{m))))$ $\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{\dot {q}}_{\mu }$

Ejemplo

Considere la fuerza de Lorentz que actúa sobre una carga eléctrica puntual en un campo electromagnético: donde es la carga eléctrica, es la velocidad de la carga, es la intensidad del campo eléctrico, es la inducción del campo magnético, es la velocidad de la luz. El potencial generalizado de la fuerza de Lorentz se puede introducir mediante la fórmula: , donde es el potencial escalar , es el potencial vectorial [3] [4] $F=e\left[E+{\frac {v}{c}}\times B\right]$ $mi$ $v$ $mi$ $B$ $C$ $V=e\phi -{\frac {e}{c}}vA=e\phi -{\frac {e}{c}}\left({\dot {x}}A_{x}+ {\punto {y}}A_{y}+{\punto {z}}A_{z}\right)$ $\fi$ $A$

Notas

↑ Butenin, 1971 , p. 115.
↑ Butenin, 1971 , p. 117.
↑ Butenin, 1971 , p. 118.
↑ L. D. Landau E. M. Livshits Teoría del campo, Fizmatgiz, 1962

Literatura

Butenin NV Introducción a la mecánica analítica. - M. : Nauka, 1971. - 264 p.