El potencial escalar de un campo vectorial (más a menudo solo el potencial de un campo vectorial) es una función escalar tal que en todos los puntos del área de definición del campo
donde denota el gradiente . En física, un potencial suele denominarse una cantidad de signo opuesto (el potencial de la fuerza, el potencial del campo eléctrico).
Un campo se llama potencial si tiene un potencial escalar. Para un campo potencial, la integral curvilínea entre dos puntos es:
no depende del camino de integración que conecta estos puntos. Esto es equivalente al hecho de que la integral sobre cualquier contorno cerrado es igual a cero:
En términos físicos, esto significa que el trabajo mecánico de mover un cuerpo de prueba en un campo de fuerza potencial no depende de la trayectoria del movimiento, sino solo de la posición de los puntos inicial y final de la trayectoria.
Un campo vectorial continuo en una región simplemente conexa del espacio tridimensional es potencialmente si y solo si es irrotacional :
Una generalización de este teorema al caso de un espacio arbitrario de dimensión finita es el lema de Poincaré . Para tales espacios, existe un isomorfismo entre los campos vectoriales y las formas 1 , y la cuestión de la existencia de un potencial se reduce a la cuestión de invertir la derivación exterior . El lema de Poincaré establece que cualquier forma cerrada en un dominio simplemente conexo de un espacio de dimensión finita es exacta .
Tenga en cuenta que en el caso general de un espacio no simplemente conexo, la condición de cierre no es suficiente. Es fácil comprobar que el campo está en el plano.
es irrotacional en cualquier región simplemente conexa que no contenga el punto , sin embargo
para cualquier contorno , una vez dando la vuelta al origen en sentido contrario a las agujas del reloj.
De cualquier campo vectorial en él es posible extraer su componente potencial. El potencial que le corresponde se puede escribir explícitamente sin expandir el campo mismo. Está determinado por una integral llamada potencial newtoniano :
En este caso, la divergencia del campo debe disminuir en el infinito más rápido que . En el caso de un campo irrotacional, esta integral da el potencial escalar del campo.
La divergencia se puede identificar con la densidad de carga . En particular, para el campo
obtenemos la fórmula habitual para el potencial gravitatorio newtoniano de una masa puntual situada en el origen:
donde es la función delta de Dirac tridimensional .