Imagen (matemáticas)

La imagen de una función es el conjunto de todos los valores que da la función.

De manera más general, calcular el valor de una función dada para cada elemento de un subconjunto dado del dominio de la función produce un conjunto llamado " imagen de la función ". De manera similar, la imagen inversa (o preimagen ) de un subconjunto dado del codominio de una función es el conjunto de todos los elementos del dominio que se asignan a los elementos del conjunto . $F$ $A$ $A$ $F$ $B$ $F$ $B$

La imagen y la imagen inversa también se pueden definir para relaciones binarias generales , no solo para funciones.

Definición

La palabra "imagen" se usa de tres maneras relacionadas. En estas definiciones , es una función conjunto a conjunto . $f\dos puntos X\a Y$ $X$ $Y$

Imagen del elemento

Si es un elemento del conjunto , entonces la imagen del elemento para la función , denotada por [1] , es el valor de la función para el argumento . $X$ $X$ $X$ $F$ $f(x)$ $F$ $X$

Imagen de subconjunto

La imagen de un subconjunto para la función , denotada por , es un subconjunto del conjunto , que se puede definir usando la siguiente notación [2] : $A\subconjunto X$ $F$ $fa]$ $Y$

{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\))

Si no hay riesgo de confusión, se escribe simplemente como . Esta convención es generalmente aceptada. El significado pretendido debe determinarse a partir del contexto. Esto hace que f [.] sea una función cuyo dominio es el grado de X (el conjunto de todos los subconjuntos de X ), y cuyo codominio es el grado de Y. Ver sección § Notación . $fa]$ $fa)$

Imagen de función

La imagen de una función es la imagen de todo el dominio de definición , también conocido como el dominio de la función [3] .

Generalización a relaciones binarias

Si es una relación binaria arbitraria en XY , entonces el conjunto se llama imagen de la relación . El conjunto se llama dominio de la relación . $R$ $\veces$ ${\displaystyle \{y\en Y\|xRy,x\en X\))$ $R$ $\{x\en X|xRy,y\en Y\}$ $R$

Imagen inversa

Sea una función de a . La pre-imagen o imagen inversa de un conjunto para una función , denotada por, es un subconjunto definido como: $F$ $X$ $Y$ $B\subconjunto Y$ $F$ ${\ estilo de visualización f ^ {-1} [B]}$ $X$

f^{-1}[B]=\{x\en X\,|\,f(x)\en B\}.

También son posibles otras designaciones, como: [4] y . [5] $f^{-1}(B)$ ${\ estilo de visualización f ^ {-} (B)}$

El recíproco de un singleton , denotado por o , también se denomina capa para o conjunto de nivel de elemento . El conjunto de todas las capas de elementos es una familia de subconjuntos indexados por elementos . $f^{-1}[\{y\}]$ ${\ estilo de visualización f ^ {-1} [y]}$ $y$ $y$ $Y$ $Y$

Por ejemplo, para una función, lo contrario será . Nuevamente, si no hay riesgo de confusión, puede denotarse como , y puede considerarse como una función del conjunto de todos los subconjuntos (booleano) del conjunto en el booleano del conjunto . La notación no debe confundirse con el inverso de , aunque es coherente con el inverso habitual de las biyecciones en el sentido de que el retroceso de es la imagen de . $f(x) = x^2$ ${\ estilo de visualización \ {4 \}}$ ${\ estilo de visualización \ {-2,2 \}}$ ${\ estilo de visualización f ^ {-1} [B]}$ $f^{-1}(B)$ $f^{-1}$ $Y$ $X$ $f^{-1}$ $B$ $F$ $B$ $f^{-1}$

Notación para imagen e imagen inversa

La notación tradicional utilizada en las secciones anteriores puede ser difícil de entender. Una alternativa [6] es especificar nombres explícitos para la imagen y preimagen de funciones entre booleanos:

Notación de flecha

$f^{\to }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ por ${\displaystyle f^{\to }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\))$
$f^{\leftarrow}:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ por ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\en X\;|\;f(a)\en B\))$

Notación de asterisco

$f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ en vez de ${\ estilo de visualización f ^ {\ a ))$
$f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ en vez de ${\ estilo de visualización f ^ {\ flecha izquierda}}$

Otra terminología

La notación alternativa utilizada en lógica matemática y teoría de conjuntos es [7] [8] . $fa]$ $f^{\principal \principal}A$
Algunos libros se refieren a una imagen como un dominio de valor , pero esto debe evitarse ya que el término "dominio de valor" también se usa ampliamente para referirse al codominio de una función . $F$ $F$ $F$

Ejemplos

$f\dos puntos \{1,2,3\}\a \{a,b,c,d\}$ definido como $f(x)=\left\{{\begin{matriz}a,&{\mbox{ si }}x=1\\a,&{\mbox{si }}x=2\\c, &{\mbox{ si }}x=3.\end{matriz}}\right.$ La imagen del conjunto {2, 3} para la función es . La imagen de la función es . El prototipo es . El prototipo del conjunto también es . El prototipo de un conjunto es el conjunto vacío . $F$ $f(\{2,3\})=\{a,c\}$ $F$ ${\ estilo de visualización \ {a, c \}}$ $a$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\))$ $\{a,b\}$ ${\ estilo de visualización \ {1,2 \}}$ ${\ estilo de visualización \ {b, d \}}$ $\{\}$
$f\dos puntos \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ definido como . $f(x) = x^2$ La imagen de la función es , y la imagen de la función es . El prototipo para es . La imagen inversa del conjunto para es el conjunto vacío, ya que los números negativos no tienen raíces cuadradas en el conjunto de los números reales. ${\ estilo de visualización \ {-2,3 \}}$ $F$ $f(\{-2,3\})=\{4,9\}$ $F$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {R} ^{+))$ ${\ estilo de visualización \ {4,9 \}}$ $F$ ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\))$ ${\displaystyle N=\{n\in \mathbf {R} \|n<0\))$ $F$
$f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R}$ definido como . $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ Las capas son círculos concéntricos alrededor del origen , el único punto del origen, o el conjunto vacío, cualquiera que sea,orespectivamente. $f^{-1}(\{a\})$ $a>0$ $un=0$ $un<0$
Si es una variedad y es una proyección canónica del fibrado tangente a , entonces las fibras del mapa son los espacios tangentes para . Este es también un ejemplo de un espacio fibrado . $METRO$ ${\ estilo de visualización \ pi: TM \ a M}$ $TM$ $METRO$ $\Pi$ ${\ estilo de visualización T_ {x} (M)}$ $x \en M$
Un grupo de factores es una imagen homomórfica.

Propiedades

Contraejemplos

Contraejemplos basados en mostrar que esta igualdad suele fallar para algunas leyes: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2))$

Caso general

Para cualquier función y todos los subconjuntos de y , se cumplen las siguientes propiedades: $f\dos puntos X\a Y$ $A\subconjunto X$ $B\subconjunto Y$

Imagen	prototipo
$f(X)\subseteq Y$	${\ estilo de visualización f ^ {-1} (Y) = X}$
${\ Displaystyle f (f ^ {-1} (Y)) = f (X)}$	${\ estilo de visualización f ^ {-1} (f (X)) = X}$
$f(f^{-1}(B))\subconjunto B$ (igual si , i.e. sobreyectiva) [9] [10] $B\subseteq f(X)$ $F$	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (igual si inyectiva) [9] [10] $F$
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
${\ Displaystyle f (f ^ {-1} (f (A))) = f (A)}$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnada\Leftrightarrow A=\varnada$	$f^{-1}(B)=\varnada\Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ [9]
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$ [once]	$f^{-1}(f(A)\taza B)\supseteq A\taza f^{-1}(B)$ [once]
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$ [once]	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$ [once]

También:

$f(A)\cap B=\varnada\Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnada$

Para múltiples funciones

Para funciones y con subconjuntos y , se cumplen las siguientes propiedades: $f\dos puntos X\a Y$ $g\colon Y\to Z$ $A\subconjunto X$ $C\subconjunto Z$

${\ estilo de visualización (g \ circ f) (A) = g (f (A))}$
$(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Varios subconjuntos de un dominio o codominio

Las siguientes propiedades son válidas para la función y los subconjuntos y : $f\dos puntos X\a Y$ $A_{1},A_{2}\subseteq X$ $B_{1},B_{2}\subseteq Y$

Imagen	prototipo
$A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$	$B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\taza A_{2})=f(A_{1})\taza f(A_{2})$ [11] [12]	$f^{-1}(B_{1}\taza B_{2})=f^{-1}(B_{1})\taza f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ [11] [12] (igual si inyectiva [13] ) $F$	$f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ [11] (igual si [13] es inyectivo) $F$	$f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$ [once]
$f(A_{1}\triángulo A_{2})\supseteq f(A_{1})\triángulo f(A_{2})$ (igual si es inyectivo) $F$	$f^{-1}(B_{1}\triángulo B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triángulo f^{-1}(B_{2})$

Los resultados para imágenes y preimágenes de la intersección ( booleana ) y el álgebra de unión funcionan para cualquier colección de subconjuntos, no solo para pares de subconjuntos:

$f\left(\bigcup_{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup_{s\in S}f(A_{s})$
$f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap_{s\in S}f(A_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcup_{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup_{s\in S}f^{-1}(B_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcap_{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap_{s\in S}f^{-1}(B_{s})$

(Aquí puede haber un conjunto infinito, incluso incontable .) $S$

Con respecto al álgebra de subconjuntos descrita anteriormente, la función de mapeo inversa es un homomorfismo de celosía , mientras que la función de mapeo es solo un homomorfismo de semicelosía (es decir, no siempre conserva las intersecciones).

Véase también

Biyección, inyección y sobreyección
Imagen (teoría de categorías)
Kernel (teoría de conjuntos)

Notas

↑ Compendio de Símbolos Matemáticos ? . Bóveda de Matemáticas (1 de marzo de 2020). Consultado el 28 de agosto de 2020. Archivado desde el original el 6 de diciembre de 2020. (indefinido)
↑ 5.4: Sobre funciones e imágenes/preimágenes de conjuntos . Matemáticas LibreTexts (5 de noviembre de 2019). Consultado el 28 de agosto de 2020. Archivado desde el original el 27 de octubre de 2020.
↑ Weisstein, Eric W. Imagen . mundomatemático.wolfram.com . Consultado el 28 de agosto de 2020. Archivado desde el original el 19 de marzo de 2020.
↑ ¿Lista completa de símbolos de álgebra ? . Bóveda de Matemáticas (25 de marzo de 2020). Consultado el 28 de agosto de 2020. Archivado desde el original el 1 de abril de 2020. (indefinido)
↑ Dolecki, Mynard, 2016 , pág. 4-5.
↑ Blyth, 2005 , pág. 5.
↑ Rubín, 1967 .
↑ M. Randall Holmes: Inhomogeneidad de los urelementos en los modelos habituales de NFU Archivado el 7 de febrero de 2018 en Wayback Machine , el 29 de diciembre de 2005, en: Semantic Scholar, p. 2
↑ 1 2 3 Halmos, 1960 , pág. 39.
↑ 12 Munkres , 2000 , pág. 19
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Lee, 2011 , pág. 388.
↑ 12 Kelley , 1985 , pág. [ [1] en " Google Libros " 85]
↑ 12 Munkres , 2000 , pág. 21

Literatura

Juan M Lee Introducción a las variedades topológicas. — 2do. - Nueva York, Dordrecht, Heidelberg, Londres: Springer, 2011. - V. 202. - (Textos de posgrado en Matemáticas). — ISBN 978-1-4419-7939-1 .
Jean E. Rubín. Teoría de conjuntos para el matemático . - Holden-Day, 1967. - S. xix.
Miguel Artín . Álgebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 81-203-0871-9 .
TS Blyth. Celosías y Estructuras Algebraicas Ordenadas. - Springer, 2005. - ISBN 1-85233-905-5 .
Szymon Dolecki, Frédéric Mynard. Fundamentos de convergencia de la topología. - Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company, 2016. - ISBN 978-981-4571-53-4 .
Paul R. Halmos . Teoría de conjuntos ingenua . - Van Nostrand Company, 1960. - (La Serie Universitaria en Matemáticas de Pregrado).
John L.Kelly. topología general. - 2. - Birkhäuser, 1985. - Vol. 27. - ( Textos de Posgrado en Matemáticas ). - ISBN 978-0-387-90125-1 .
James R. Munkres. topología - Segunda edición - Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., 2000. - ISBN 978-0-13-181629-9 .