Interpolación parabólica inversa

La interpolación parabólica inversa es un método numérico iterativo para encontrar la raíz de la ecuación , donde es una función continua de una variable. La idea del método es la interpolación parabólica de una función sobre tres puntos. Pero a diferencia del método de Muller, la función inversa a es interpolada . El método es más eficiente que los métodos más simples si la función es dos veces diferenciable. El algoritmo se utiliza como componente del popular método Brent . $f(x)=0$ $f(x)$ $f(x)$

Método

El algoritmo de interpolación parabólica inversa viene dado por la fórmula recursiva :

x_{n+1}={\frac {f_{n-1}f_{n}}{(f_{n-2}-f_{n-1})(f_{n-2}-f_ {n})}}x_{n-2}+{\frac {f_{n-2}f_{n}}{(f_{n-1}-f_{n-2})(f_{n-1 }-f_{n})}}x_{n-1}

{}+{\frac {f_{n-2}f_{n-1}}{(f_{n}-f_{n-2})(f_{n}-f_{n-1}) }}x_{n},

donde _ Como se desprende de la fórmula, para iniciar los cálculos se necesitan tres puntos de partida y es deseable, pero no necesario, que la raíz esté en el segmento especificado por ellos. $f_{k}=f(x_{k})$ ${\ estilo de visualización x_{0},x_{1},x_{2))$

Prueba de la fórmula del método

Considere tres puntos como los valores de una función de los argumentos . El polinomio de interpolación de Lagrange para estos puntos se verá así ${\ estilo de visualización x_ {n-2}, x_ {n-1}, x_ {n})$ ${\ estilo de visualización f_ {n-2}, f_ {n-1}, f (n)}$

f^{-1}(y)={\frac {(y-f_{n-1})(y-f_{n})}{(f_{n-2}-f_{n-1 })(f_{n-2}-f_{n})}}x_{n-2}+{\frac {(y-f_{n-2})(y-f_{n})}{(f_ {n-1}-f_{n-2})(f_{n-1}-f_{n})}}x_{n-1}

{}+{\frac {(y-f_{n-2})(y-f_{n-1})}{(f_{n}-f_{n-2})(f_{n} -f_{n-1})}}x_{n}.

Dado que estamos buscando una raíz , este reemplazo también da la fórmula recurrente deseada. $f(x)$ ${\ estilo de visualización y = f (x) = 0}$

Convergencia

Si la función es lo suficientemente suave, los puntos iniciales están cerca de la raíz y la raíz no es un extremo, entonces el método converge muy rápidamente. El orden de convergencia asintótica del método es de aproximadamente 1,8. Sin embargo, a veces el método no es efectivo o no conduce a ningún resultado. En particular, si dos valores de función coinciden accidentalmente, entonces las iteraciones no pueden continuar. Esta desventaja se elimina al combinar el método con métodos más robustos de menor tasa de convergencia, lo que, en particular, se hace en el método Brent.

Comparación con otros métodos

La interpolación parabólica inversa está estrechamente relacionada con el método de Muller, que tiene aproximadamente el mismo orden de convergencia, y con el método de la secante , que tiene un orden de convergencia más bajo. A diferencia del método de Newton , que tiene una alta tasa de convergencia (2), el método no requiere el cálculo de derivadas.

Enlaces

James F. Epperson , Introducción a los métodos y análisis numéricos , páginas 182-185, Wiley-Interscience, 2007. ISBN 978-0-470-04963-1