Polinomio de interpolación de Lagrange

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El polinomio de interpolación de Lagrange es un polinomio de grado mínimo que toma valores dados en un conjunto de puntos dado, es decir, resuelve el problema de interpolación .

Definición

Deje que se dé un par de números donde todos son diferentes. Se requiere construir un polinomio de grado a lo sumo , para lo cual . $n+1$ $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots,(x_{n},y_{n}),$ $x_{j}$ $L(x)$ $norte$ ${\ estilo de visualización L (x_ {j}) = y_ {j))$

Caso general

J. L. Lagrange propuso el siguiente método para calcular dichos polinomios:

L(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}l_{i}(x),

donde los polinomios básicos están determinados por la fórmula $l_{yo}$

l_{i}(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} }={\frac {x-x_{0}}{x_{i}-x_{0}}}\cdots {\frac {x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i- 1}}}\cdot {\frac {x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}}}\cdots {\frac {x-x_{n}}{x_{i }-x_{n}}}

Para cualquier polinomio tiene grado y $i=0,\ldots,n$ $l_{yo}$ $norte$

l_{i}(x_{j})=\left\{{\begin{array}{rl}0,&j\neq i,\\1,&j=i.\end{array}}\right .

Esto implica que , que es una combinación lineal de polinomios , tiene como máximo grado y . $L(x)$ ${\ estilo de visualización l_ {i} (x)}$ $norte$ ${\ estilo de visualización L (x_ {i}) = y_ {i}}$

El caso de los nodos de interpolación equidistantes

Deje que los nodos de interpolación sean equidistantes, es decir, se expresan en términos del punto de partida y algún valor positivo fijo de la siguiente manera: $x_{j}$ $x_{0}$ $h$

x_{j}=x_{0}+jh.

De ahí se sigue que

x_{j}-x_{i}=(ji)h.

Sustituyendo estas expresiones en la fórmula del polinomio básico y quitando los signos del producto en el numerador y el denominador, obtenemos $h$

l_{j}(x)={\prod _{i=0,\,i\neq j}^{n}{(x-x_{i}) \over (x_{j}-x_{ i})}}={\prod \limits _{i=0,\,i\neq j}^{n}(x-x_{0}-ih) \over h^{n}\prod \limits _ {i=0,\,i\neqj}^{n}(ji)}

Ahora podemos introducir un cambio de variable

y={{x-x_{0}} \sobre h}

y obtenga una expresión para polinomios básicos en términos de , que se construye usando solo aritmética de enteros : $y$

l_{j}(x)=l_{j}(x_{0}+yh)=(-1)^{nj}C_{n}^{j}{\dfrac {y(y-1) \ldots (yn)}{(yi)n!}}.

Estas cantidades se denominan coeficientes de Lagrange. No dependen de o de y por lo tanto se pueden calcular de antemano y escribir en forma de tablas. La desventaja de este enfoque es la complejidad factorial del numerador y el denominador, lo que requiere el uso de aritmética larga . $y_{0},\ldots,y_{n}$ $h$

Resto

Si consideramos los números como los valores de alguna función en los nodos , entonces el error de interpolar la función por un polinomio es igual a $y_{0},\ldots,y_{n}$ $F$ ${\displaystyle x_{0},\ldots,x_{n))$ $F$ $L$

f(x)-L(x)={\dfrac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})\ldots (x-x_{n}),

donde es un punto medio entre el menor y el mayor de los números . Suponiendo que se puede escribir $\xi$ ${\displaystyle x_{0},\ldots,x_{n))$ $M_{n+1}=\sup _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|$

|f(x)-L(x)|\leqslant {\dfrac {M_{n+1}}{(n+1)!}}|(x-x_{0})\ldots (x- x_{n})|.

Singularidad

Existe un único polinomio de grado no superior que toma los valores dados en un punto dado. $norte$ $n+1$

Prueba

Suponga que hay dos polinomios diferentes de grado como máximo , por lo que es cierto que para pares de números donde todos son diferentes, Considere el polinomio . Sustituyendo ( ) en él, obtenemos que . Por lo tanto, el polinomio tiene raíces y todas son diferentes. Por lo tanto , dado que un polinomio distinto de cero de grado como máximo tiene como máximo raíces. Por lo tanto, . ■ ■ $P(x)$ $q(x)$ $norte$ $n+1$ $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots,(x_{n},y_{n}),$ $x_{j}$ $P(x_{j})=Q(x_{j})=y_{j}.$ $L(x)=P(x)-Q(x)$ $x_{j}$ ${\ estilo de visualización 0 \ leq j \ leq n}$ $L(x_{j})=P(x_{j})-Q(x_{j})=y_{j}-y_{j}=0$ $L(x)$ $n+1$ $L(x)\equiv 0$ $norte$ $norte$ ${\ estilo de visualización P (x) = Q (x)}$

Esta afirmación es una generalización del hecho de que solo hay una línea que pasa por dos puntos cualesquiera.

Desde el punto de vista del álgebra lineal

La singularidad del polinomio de interpolación también puede verse desde el punto de vista de la SLAE . Considere un sistema de ecuaciones . Está escrito explícitamente como ${\displaystyle P(x_{0})=y_{0},P(x_{1})=y_{1},\dots ,P(x_{n})=y_{n))$

{\begin{casos}a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}+\dots +a_{n}x_{0}^{n }=y_{0},\\a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}^{2}+\puntos +a_{n}x_{1}^{n }=y_{1},\\\puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos ,\\a_{0}+a_{1}x_{n}+ a_{2}x_{n}^{2}+\puntos +a_{n}x_{n}^{n}=y_{n}\\\end{casos}}

Se puede reescribir como un sistema de ecuaciones con un vector desconocido : ${\ estilo de visualización Xa = y}$ $a=(a_{0},a_{1},\dots,a_{n})$

{\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_ {1}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n}\\ \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\ \y_{1}\\\vpuntos \\y_{n}\end{bmatriz}}

La matriz en tal sistema es la matriz de Vandermonde y su determinante es . En consecuencia, si todos los puntos son diferentes, entonces la matriz no es degenerada y el sistema tiene una solución única. $X$ $\prod \limits _{i<j}(x_{i}-x_{j})$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\puntos,x_{n))$

En términos del teorema chino del resto

Según el teorema de Bezout, el resto de la división por es . Así, todo el sistema puede ser percibido como un sistema de comparaciones: $P(x)$ $(xa)$ $Pensilvania)$

{\begin{casos}P(x)\equiv y_{0}{\pmod {x-x_{0}}},\\P(x)\equiv y_{1}{\pmod {x- x_{1}}},\\\puntos,\\P(x)\equiv y_{n}{\pmod {x-x_{n}}},\\\end{casos}}

De acuerdo con el teorema chino del resto, tal sistema tiene un único módulo de solución , es decir, un sistema dado determina únicamente un polinomio de grado como máximo . Tal representación de un polinomio en forma de conjuntos de residuos sobre módulos de monomios es similar a la representación de un número en forma de residuos de la división en módulos simples en el sistema de clases de residuos . En este caso, también se puede obtener una fórmula explícita para el polinomio de Lagrange de acuerdo con las fórmulas del teorema chino : , donde y . $(x-x_{0})(x-x_{1})\puntos (x-x_{n})$ $norte$ ${\textstyle P(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}y_{i}M_{i}M_{i}^{-1))$ $M_{i}=\prod \limits_{j\neq i}(x-x_{j})$ $M_{i}^{-1}=\prod \limits _{j\neq i}(x-x_{j})^{-1}{\pmod {x-x_{i))}= \prod \limits _{j\neq i}(x_{i}-x_{j})^{-1}$

Ejemplo

Encontremos la fórmula de interpolación para tener los siguientes valores: $f(x)=\mahop {\mathrm {tg} } \nolimits (x)$

{\begin{alineado}x_{0}&=-1,5&&&&&f(x_{0})&=-14,1014\\x_{1}&=-0,75&&&&&f(x_{1})&=- 0,931596\ \x_{2}&=0&&&&&f(x_{2})&=0\\x_{3}&=0,75&&&&&f(x_{3})&=0,931596\\x_{4}&= 1,5&&&&&f(x_{4 })&=14,1014.\end{alineado}}

l_{0}(x)={x-x_{1} \sobre x_{0}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \sobre x_{0}-x_{2} }\cdot {x-x_{3} \sobre x_{0}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \sobre x_{0}-x_{4}}={1 \sobre 243} x(2x-3)(4x-3)(4x+3)

l_{1}(x)={x-x_{0} \sobre x_{1}-x_{0}}\cdot {x-x_{2} \sobre x_{1}-x_{2} }\cdot {x-x_{3} \sobre x_{1}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \sobre x_{1}-x_{4}}={}-{8 \ sobre 243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)

l_{2}(x)={x-x_{0} \sobre x_{2}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \sobre x_{2}-x_{1} }\cdot {x-x_{3} \sobre x_{2}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \sobre x_{2}-x_{4}}={3 \sobre 243} (2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)

l_{3}(x)={x-x_{0} \sobre x_{3}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \sobre x_{3}-x_{1} }\cdot {x-x_{2} \sobre x_{3}-x_{2}}\cdot {x-x_{4} \sobre x_{3}-x_{4}}=-{8 \sobre 243 }x(2x-3)(2x+3)(4x+3)

l_{4}(x)={x-x_{0} \sobre x_{4}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \sobre x_{4}-x_{1} }\cdot {x-x_{2} \sobre x_{4}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \sobre x_{4}-x_{3}}={1 \sobre 243} x(2x+3)(4x-3)(4x+3).

Obtener

{\begin{alineado}L(x)&={1 \over 243}{\Big (}f(x_{0})x(2x-3)(4x-3)(4x+3)\ \&{}\qquad {}-8f(x_{1})x(2x-3)(2x+3)(4x-3)\\&{}\qquad {}+3f(x_{2})( 2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)\\&{}\qquad {}-8f(x_{3})x(2x-3)(2x+3)(4x+ 3 )\\&{}\qquad {}+f(x_{4})x(2x+3)(4x-3)(4x+3){\Grande)}\\&=4,834848x^{3 }- 1.477474x.\end{alineado}}

Aplicaciones

Integración numérica

Que se conozcan los valores de la función en algunos puntos. Entonces podemos interpolar esta función por el método de Lagrange: $f(x)$ $y_{i}=f(x_{i})$

f(x)\approx \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x).

La expresión resultante se puede utilizar para aproximar el cálculo de la integral definida de la función : $F$

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{{i=0}}^{n}f(x_{i})\int \limits _{a}^{ b}l_{i}(x)dx

Los valores de las integrales de no dependen y se pueden calcular de antemano usando la secuencia . $l_{yo}$ $f(x)$ $x_{j}$

Literatura

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Métodos computacionales. Volumen I. - 2ª ed., estereotipada - M.: Fizmatlit . 1962.

Enlaces

M. A. Tynkevich. Capítulo 7.6.1. Polinomio de interpolación de Lagrange // Métodos numéricos de análisis . - Kemerovo, 2002. - ISBN 5-89070-042-1 . (enlace no disponible)
A. G. Khovansky. Polinomios de Lagrange y sus aplicaciones . Video conferencia. VI Escuela de Verano “ Matemáticas Modernas ”, Dubna, 2006.