Relatividad general en el espacio multidimensional

La teoría general de la relatividad en un espacio multidimensional es una generalización de la teoría general de la relatividad al espacio-tiempo con una dimensión mayor o menor que 4. Esta teoría proporciona la base para la llamada geometrización de las interacciones, una de dos maneras (junto con el enfoque de calibre) a la construcción de una teoría de campo unificado . Consiste en varias teorías físicas que intentan generalizar la teoría de la relatividad de Einstein a dimensiones superiores. Este intento de generalización está fuertemente influenciado por la teoría de cuerdas y la teoría M. La teoría general de la relatividad en el espacio multidimensional difiere de otros modelos multidimensionales en la forma fija de la densidad lagrangiana utilizada ; en esta teoría, solo puede ser curvatura escalar .

Fundamentos matemáticos

Como se sabe, las ecuaciones de Einstein para la gravedad, obtenidas por variación de la acción de Einstein-Hilbert , no contienen ninguna restricción interna sobre la dimensión del espacio y su firma , y ​​solo contienen restricciones muy débiles sobre la topología . Solo conectan localmente para un cierto espacio el tensor métrico , que describe las propiedades geométricas de este espacio, con el tensor de energía-momento , que describe los campos materiales (no gravitacionales) contenidos en este espacio.

La dimensión, topología y firma del espacio deben especificarse adicionalmente, lo que facilita la generalización de la teoría de la relatividad general a espacios con más o menos dimensiones tanto de espacio como de tiempo. El número de dimensiones espaciales y temporales está determinado por la firma del tensor métrico, o mejor dicho, por las cantidades de sus valores propios de diferentes signos, positivo y negativo. Por ejemplo, en la gravedad cuántica euclidiana , solo aparecen 4 dimensiones espaciales sin ninguna dimensión temporal.

En una teoría significativa de este tipo, aparentemente, debe haber al menos 4 dimensiones en el espacio. El hecho es que un espacio unidimensional no puede ser curvado internamente en absoluto, la curvatura de un espacio bidimensional está completamente determinada por su curvatura escalar, y la de un espacio tridimensional por el tensor de Ricci, ¿por qué, según el En las ecuaciones de Einstein, fuera de la distribución compacta de campos en tales espacios, no se observarán efectos en absoluto (excepto para topología global, ver cuerda cósmica ). Solo a partir del espacio de cuatro dimensiones aparece la acción de largo alcance del campo gravitatorio: puede propagarse más allá de los límites del objeto que lo originó e incluso formar ondas en el espacio vacío, lo que se debe al hecho de que la descripción de curvatura, a partir de esta dimensión, requiere también el conocimiento del tensor de Weyl.

La dimensión superior del espacio para las ecuaciones de Einstein no está limitada. Por lo tanto, se pueden considerar las ecuaciones de Einstein en cualquier espacio con una dimensión mayor que tres. El principal problema aquí es la interpretación física de las dimensiones superiores.

Interpretación física de dimensiones superiores

Vivimos en un espacio tridimensional y un tiempo unidimensional. Nuestros instrumentos no fijan la presencia de dimensiones superiores, que se introducen en esta teoría. Tratan de explicar esto de diferentes maneras, históricamente la primera de ellas surgió en la teoría de Kaluza-Klein: las dimensiones más altas en cada punto tienen una topología cerrada (en forma de esferas, toros o variedades de Calabi-Yau ) con diámetros del orden de la longitud de Planck , por lo que no se manifiestan de ninguna manera en condiciones normales. Para “expandir” estas dimensiones, se necesita una gran cantidad de energía, ya que las excitaciones de campo a lo largo de ellas tienen una longitud de onda subplanckiana y la energía correspondiente. Esta capacidad se denomina dimensiones extra compactas .

Por otro lado, podemos suponer que todas las dimensiones son iguales, pero los campos físicos y las interacciones que observamos están ligados de alguna manera a una hipersuperficie de cuatro dimensiones, la brana , en un espacio de dimensiones superiores. Este enfoque es popular entre los teóricos de cuerdas y se dice que resuelve el problema de la materia oscura .

El modelo espacial más simple que le permite combinar los 4 tipos de interacciones fundamentales es de 10 dimensiones (11 dimensiones en teorías con supersimetría) con las siguientes dimensiones:

Debido a su compacidad, se introducen dimensiones adicionales en las ecuaciones como grados de libertad vibratorios .

Historia

Después de la creación de la teoría general de la relatividad , que es una teoría geométrica relativista de la gravedad, los teóricos comenzaron a intentar combinar la teoría del electromagnetismo de Maxwell con ella también de forma geométrica. Al final resultó que, es imposible hacer esto en el marco de cuatro dimensiones. Esto quedó claro tras el fracaso de la teoría de Weyl, que intentaba unificar la gravedad y el electromagnetismo dentro de un espacio tetradimensional utilizando geometría compleja con torsión (geometría de Weyl). Esta teoría dio consecuencias físicas que contradecían las experimentales, por ejemplo, la velocidad del reloj dependía en ello de su historia.

Por primera vez, T. Kaluza hizo un intento de combinar la gravedad y el electromagnetismo en el marco de cinco dimensiones (ver la teoría de Kaluza-Klein ). Las ecuaciones de cinco dimensiones de Einstein se dividieron en ecuaciones de Einstein de cuatro dimensiones y ecuaciones de Maxwell mediante la división (4 + 1) . Lo que no está claro en este enfoque es la razón de tal división y el requisito que se tuvo que hacer para las transformaciones de coordenadas admisibles (deben dejar el componente electromagnético-electromagnético de la métrica sin cambios e igual a la unidad) - esto implica la pérdida de la general covarianza de la teoría. Pero el inconveniente más significativo de la teoría era el límite superior de la relación entre la carga de una partícula y su masa, coincidiendo formalmente con la restricción sobre la existencia de un horizonte de sucesos en el espacio de un agujero negro de Reissner-Nordström , que se contradice con los electrones y todas las demás partículas elementales cargadas conocidas.

El descubrimiento en la década de 1960 por Weinberg, Salam y Glashow de la unidad de la interacción electrodébil hizo posible derivar interacciones débiles a partir de las ecuaciones de Einstein, aunque para ello hubo que aumentar su dimensión a siete. Por lo tanto, hay un aumento en la dimensión del espacio:

Notas

  1. ↑ supergravity - Historia, Relación con las supercuerdas, Nomenclatura  (enlace descendente)

Literatura