Limitación

La acotación en matemáticas es una propiedad de los conjuntos , que indica la finitud del tamaño en el contexto determinado por la categoría del espacio.

El concepto inicial es un conjunto de números limitados , tal es el conjunto de los números reales , para los cuales existen números tales que para cualquiera de ellos tiene lugar: , en otras palabras, se encuentra enteramente en el segmento . Los números y se denominan en este caso cotas inferior y superior del conjunto, respectivamente. Si solo hay un límite inferior o superior, entonces se habla de un conjunto acotado por debajo o acotado por arriba , respectivamente. $B\subconjunto \mathbb {R}$ $m,M\en \mathbb {R}$ $X$ $B$ $m\leqslant x\leqslant M$ $B$ $[m,M]$ $metro$ $METRO$ $X$

Un conjunto numérico acotado por arriba tiene una cota superior exacta , acotado por abajo tiene una cota inferior exacta (teorema de la arista). Un conjunto finito de puntos, un intervalo del eje numérico (donde son números finitos), una unión finita de conjuntos acotados - conjuntos acotados; el conjunto de enteros es ilimitado; el conjunto de los números naturales desde el punto de vista del sistema de los números reales está acotado por abajo y no acotado por arriba. $[a,b]$ $a, b$ $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {N}$

Una función numérica acotada es una función cuyo rango de valores eslimitado, es decir, existe talquela desigualdad se cumple. En particular, una sucesión numérica acotada es una sucesión para la que existetalque. $f\dos puntos D\to \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización f (D)}$ $metro$ $X$ ${\ estilo de visualización | f (x) | \ leqslant m}$ ${\ estilo de visualización (a_ {i})}$ $m\en \mathbb {R}$ $yo \en \N$ $|a_{i}|\leqslantm$

Generalizaciones

Las generalizaciones de la delimitación numérica a categorías más generales de espacios pueden diferir. Por lo tanto, a los subconjuntos de conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados, la definición numérica se transfiere de forma natural (ya que la definición requiere solo la relación de orden ).

En un espacio vectorial topológico sobre un campo , cualquier conjunto absorbido por cualquier vecindad de cero se considera acotado , es decir, si existe tal que . El operador acotado en espacios vectoriales topológicos lleva conjuntos acotados a acotados. $mi$ $k$ $B$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ in k}$ ${\displaystyle B\subconjunto \alpha U_{0))$

En el caso de un espacio métrico arbitrario , los conjuntos de diámetro finito se consideran acotados , es decir, acotados, si claro. Al mismo tiempo, es imposible introducir los conceptos de acotación superior e inferior en espacios métricos generales. ${\ estilo de visualización (M, d)}$ $B\subseteq M$ ${\displaystyle \mathrm {sup} \{d(x,y)\mid {x,y\in B}\))$

Un concepto más especial que se extiende a espacios métricos arbitrarios es el de acotación completa ; en el caso de conjuntos numéricos y en espacios euclidianos, esta noción coincide con las correspondientes nociones de conjunto acotado. En espacios métricos, la compacidad topológica es equivalente a estar completamente acotado y completo al mismo tiempo , y aunque el concepto de acotación no se extiende a espacios topológicos arbitrarios , la compacidad en el caso general puede considerarse algo análogo a la acotación.

Literatura

Conjunto acotado - Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . MI Voitsekhovsky