Operador restringido

Un operador se llama acotado si asigna cada conjunto acotado del espacio vectorial topológico original a un conjunto acotado del espacio vectorial topológico . [una] $A:X a Y$ $X$ $Y$

La definición anterior se aplica tanto a los operadores lineales como a los no lineales .

Operador lineal acotado

Definiciones

Para un operador lineal , a menudo se dan otras definiciones: [1]

Llamaremos acotado a un operador lineal si existe una vecindad de cero que es un conjunto acotado en . $A:X a Y$ $tu$ $UN(U)$ $Y$
Llamaremos acotado a un operador lineal en un espacio normado si existe un número positivo tal que . El menor de estos números se denota por y se llama la norma del operador . En otras palabras, $A:X a Y$ $C$ $\|Hacha\| \le C\|x\|$ $C$ $\|A\|$ $A$

\|A\|=\up _{\|x\|=1}{\|Ax\|}

Propiedades en espacios F

Observación: el espacio de Banach es un caso especial del espacio F.

Es cierto el teorema de que un operador lineal acotado que actúa de un espacio F a otro es continuo . [2]
Por el contrario ( teorema de Banach ), todo operador continuo está acotado. [1] [2]

Por lo tanto, para conocer las propiedades adicionales de dichos operadores, consulte el artículo Operador lineal continuo .

Literatura

↑ 1 2 3 Enciclopedia Matemática / Vinogradov I.M. . - M . : Sov. enciclopedia , 1977 . - T. 3.
↑ 1 2 Dunford N., Schwartz J. Operadores lineales. — M .: IL , 1962 . — T. 1. Teoría general. - S. 66-67.