Sistema de coordenadas ortogonales

Las coordenadas curvilíneas se denominan ortogonales , en las que el tensor métrico tiene forma diagonal.

{\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left(h_{k}dq^{k}\right)^{2))

donde es la dimensión del espacio. factor escalar $norte$

h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\ matemáticasbf {e} _{k}|

es igual a la raíz cuadrada de los componentes diagonales del tensor métrico, o la longitud del vector base local . ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {k}}$

En los sistemas de coordenadas ortogonales, las superficies de coordenadas son ortogonales entre sí. En particular, en el sistema de coordenadas cartesianas, los ejes de coordenadas y son ortogonales entre sí . $\mathbf {q} =(q^{1},q^{1},\ldots,q^{n})$ $Buey$ $Oye$ ${\ estilo de visualización Oz}$

La elección de este o aquel sistema de coordenadas ortogonales está determinada por la simetría del sistema. Por ejemplo, al resolver el problema de la propagación de una onda electromagnética desde una fuente puntual, es ventajoso utilizar un sistema de coordenadas esféricas ; al resolver el problema de las oscilaciones de la membrana, es preferible un sistema de coordenadas cilíndrico .

Transformaciones matemáticas

Vectores base

En sistemas ortogonales, el producto escalar de los vectores base es:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\left\{{\begin{matriz}0,&i\neq j{;}\\\vert \mathbf { e} _{i}\vert ^{2},&i=j{.}\end{matriz}}\right.$

En la mayoría de los casos se utilizan vectores base normalizados, para los cuales . $\mathbf {e} _{i}^{\left(n\right)}={\frac {\mathbf {e} _{i)){\left|\mathbf {e} _{i} \derecho|}}$

Para vectores base normalizados , donde es el símbolo de Kronecker . ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij))$ ${\ estilo de visualización \ delta _ {ij}}$

Producto escalar

El producto escalar de vectores en sistemas ortogonales se calcula mediante la fórmula:

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum_{k=1}^{n}h_{k}^{2}x^{k}y^{k}=\sum_ {k=1}^{n}{\frac {x_{k}y_{k}}{h_{k}^{2}}}=\sum_{k=1}^{n}x^{k }y_{k}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}y^{k}