Complemento ortogonal

El complemento ortogonal de un subespacio de un espacio vectorial de forma bilineal es el conjunto de todos los vectores ortogonales a cada vector de . Este conjunto es un subespacio vectorial , que generalmente se denota por . $W$ $V$ $B$ $V$ $W$ $V$ ${\ estilo de visualización W ^ {\ bot}}$

Definición

Sea un espacio vectorial sobre un campo de forma bilineal . Un vector es ortogonal a la izquierda de un vector , y un vector es ortogonal a la derecha de un vector si y solo si El complemento ortogonal a la izquierda de un subespacio es el conjunto de vectores ortogonales a la izquierda de cada vector , es decir $V$ $F$ $B$ $tu$ $v$ $v$ $tu$ ${\ estilo de visualización B (u, v) = 0.}$ $W$ $W$

W^{\bot }=\left\{x\in V:B(x,y)=0\;\forall y\in W\right\}.

El complemento ortogonal derecho se define de manera similar. Por lo tanto, para una forma bilineal simétrica o sesgada simétrica , las definiciones de los complementos ortogonales izquierdo y derecho son las mismas. $B(u,v)=0\Leftrightarrow B(v,u)=0,$

La definición puede llevarse al caso de un módulo libre sobre un anillo conmutativo . [una]

Propiedades

El complemento ortogonal es un subespacio, es decir, está cerrado bajo la suma y multiplicación de vectores por un elemento de campo.
si , entonces $X\subseteq Y$ $Y^{\bot}\subseteq X^{\bot}.$
El radical de una forma bilineal es un subespacio de cualquier complemento ortogonal.
$W\subseteq (W^{\bot})^{\bot}.$
Si la forma no es degenerada y el espacio es de dimensión finita, entonces $B$ $V$ $\mathrm {tenue} \;W+\mathrm {tenue} \;W^{\bot}=\mathrm {tenue} \;V.$
Si es un espacio euclidiano de dimensión finita y es un producto escalar (o un espacio unitario y un producto escalar hermitiano, respectivamente), entonces para cualquier subespacio se expande en una suma directa y [2] $V$ $B$ $W\subseteq V$ $V$ $W$ $W^{\bot}.$

Ejemplo

Sea un espacio bidimensional con base , y la matriz de la forma bilineal en esta base tiene la forma Entonces el complemento ortogonal del subespacio generado por el vector es el conjunto de vectores tal que Por ejemplo, el complemento ortogonal del espacio generado por el vector coincide consigo mismo, mientras que el complemento ortogonal está generado por el vector . $V$ ${\ Displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\bigl (}{\begin{pequeña matriz}0&1\\1&0\end{pequeña matriz}}{\bigr)}.$ ${\displaystyle ae_{1}+be_{2))$ $xe_{1}+ye_{2},$ $ay+bx=0.$ $e_{1}$ $\langle e_{1}+e_{2}\rangle$ ${\ Displaystyle e_{1}-e_{2))$

Notas

↑ Adkins, Weintraub (1992) p.359
↑ Maltsev A.I., Fundamentos de álgebra lineal, p.212.

Literatura

Maltsev AI Fundamentos de álgebra lineal. - 3ro. — M .: Nauka , 1970. — 400 p.
Adkins, Guillermo A.; Weintraub, Steven H. (1992), Álgebra: un enfoque a través de la teoría del módulo, Textos de posgrado en matemáticas 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9 , Zbl 0768.00003
Halmos, Paul R. (1974), espacios vectoriales de dimensión finita, textos de pregrado en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3 , Zbl 0288.15002