Trayectorias ortogonales

Las trayectorias ortogonales son líneas que intersecan una familia dada de curvas en ángulos rectos. Si es la pendiente de la tangente a la trayectoria ortogonal, y es la pendiente de la tangente a la curva de esta familia, entonces y debe satisfacer la condición de ortogonalidad en cada punto : $y_{1}'$ $y_{2}'$ $y_{1}'$ $y_{2}'$

y_{1}'=-{1 \sobre y_{2}'}

Tengamos una familia de curvas , donde es una constante. Luego, las trayectorias ortogonales se pueden encontrar resolviendo un sistema de ecuaciones diferenciales : ${\ estilo de visualización g (x, y) = C}$ $C$

\nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=0

Usando la definición de un gradiente , uno puede escribir:

\nabla f(x,y)=\left({\frac {\parcial f}{\parcial x)),{\frac {\parcial f}{\parcial y))\right)

De este modo:

\nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=\left({\frac {\parcial f}{\parcial x)),{\frac {\parcial f}{\ y parcial))\right)\cdot \left({\frac {\parcial g}{\parcial x)),{\frac {\parcial g}{\parcial y))\right)={\frac {\ parcial f}{\parcial x))\cdot {\frac {\parcial g}{\parcial x))+{\frac {\parcial f}{\parcial y))\cdot {\frac {\parcial g} {\parcial y}}=0

Ejemplos

Digamos que tenemos una familia de rectas que pasan por el origen dado por la ecuación . Derivando esta ecuación con respecto a la variable , obtenemos: ${\ estilo de visualización y = kx}$ $X$