Solución especial

Una solución especial para una ecuación diferencial ordinaria es un concepto en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, más a menudo asociado con ecuaciones que no se resuelven con respecto a la derivada. Hay varias definiciones de soluciones especiales, que no siempre son equivalentes entre sí. Una de las definiciones más utilizadas hoy en día es la siguiente.

Definición

Considere la ecuación

{\ estilo de visualización F (x, y, y') = 0, \ \ \ (1)}

donde es una función suave en algún dominio . Una solución se denomina solución especial de la ecuación (1) si cada punto de la curva integral que le corresponde es un punto de no unicidad local de la solución del problema de Cauchy con la condición inicial ${\ estilo de visualización F (x, y, p)}$ $c ^ 1$ ${\displaystyle G\subseteq {\mathbb {R} ^{3}}_{(x,y,p)))$ $y=\psi (x),x\in \mathrm {I} \subseteq \mathbb {R} ,$ $(x_{0},\psi (x_{0})),x_{0}\en \mathrm {I} ,$

y(x_{0})=\psi (x_{0}),\ \ \ y'(x_{0})=\psi '(x_{0})

En otras palabras, en cada punto una solución particular toca otra solución que no coincide idénticamente con ella en cualquier vecindad arbitrariamente pequeña de este punto [1] . $(x,y)$

Propiedades

Una solución especial (más precisamente, su gráfica) es la envolvente de la familia de curvas integrales de la ecuación (1).

La curva discriminante de la ecuación (1) es un conjunto (por ejemplo, una curva o una colección de curvas, pero también puede ser un punto o un conjunto vacío) en el plano de variables dado por las ecuaciones . Una solución especial de la ecuación (1), si existe, siempre está contenida en la curva discriminante de esta ecuación. [2] La curva discriminante puede constar de varias curvas con diferentes propiedades, algunas de ellas pueden ser gráficas de soluciones especiales y otras pueden no serlo. Lo contrario no es cierto: la curva discriminante no es necesariamente una solución a la ecuación (y si lo es, entonces no es necesariamente especial) [2] . $(x,y)$ $F(x,y,p)=F_{p}(x,y,p)=0$

De lo anterior se deduce que para encontrar prácticamente soluciones especiales a la ecuación de una ecuación en particular, primero se debe encontrar su curva discriminante, y luego verificar si (cada una de sus ramas, si hay varias) es una solución especial para ecuación (1), o no [2] .

Ejemplos

1. La curva discriminante de la ecuación de Cibrario , el eje de coordenadas , no es una solución, sino el lugar geométrico de los puntos de cúspide de sus curvas integrales. ${\ estilo de visualización (y') ^ {2} = x}$ $x=0$

2. La curva discriminante de la ecuación , el eje de coordenadas , es una solución a esta ecuación, pero su gráfico no interseca con ninguna otra curva integral de esta ecuación, por lo que esta solución no es especial. ${\ estilo de visualización (y')^{2}-y^{2}=0}$ ${\ estilo de visualización y = 0}$

3. Ejemplos sencillos de ecuaciones diferenciales con soluciones especiales son la ecuación de Clairaut y la ecuación , cuyas soluciones no singulares están dadas por una fórmula con una constante de integración , y la solución especial tiene la forma . ${\ estilo de visualización (y')^{2}=y}$ $y={\frac{1}{4}}(xc)^{2}$ $C$ $y=0$

4. La curva discriminante de la ecuación consta de dos ramas que no se cruzan: y . Ambos son soluciones de esta ecuación. Sin embargo, la primera de ellas es una solución especial, mientras que la segunda no lo es: en cada punto de la recta toca alguna otra curva integral de esta ecuación, y las curvas integrales solo se aproximan a la recta asintóticamente como [3] . ${\ estilo de visualización (y')^{2}=4y^{3}(1-y)}$ $y=1$ $y=0$ $y=1$ $y=0$ $x\a\infty$

Notas

↑ Filippov A. F. Introducción a la teoría de ecuaciones diferenciales. — M.: URSS, 2007, cap. 2, párrafo 8, página 62.
↑ 1 2 3 Filippov A. F. Introducción a la teoría de las ecuaciones diferenciales. — M.: URSS, 2007, cap. 2, párrafo 8.
↑ Filippov A. F. Introducción a la teoría de ecuaciones diferenciales. — M.: URSS, 2007, cap. 2, párrafo 8, ejemplo 5.

Literatura

Arnold VI Capítulos adicionales de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias. — M.: Nauka, 1978.
Arnold VI Métodos geométricos en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. - Izhevsk: Editorial del Estado de Udmurtia. un-ta, 2000.
Romanko VK Curso de ecuaciones diferenciales y cálculo de variaciones. — M.: Fizmatlit, 2001.
Filippov AF Introducción a la teoría de las ecuaciones diferenciales. — M.: URSS, 2004, 2007.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Una introducción a la teoría de la singularidad . - M. : MIPT, 2022. - 181 p. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .