Sobre

Una curva se llama envolvente de una familia de curvas dependiendo del parámetro si toca al menos una curva de la familia en cada uno de sus puntos y toca un conjunto infinito de estas curvas con cada uno de sus segmentos. $\gama$ $\gamma_\alfa$ $\alfa$

Definición

Sea una familia de curvas en función del parámetro y dada por la ecuación: . Entonces la envolvente de la familia de curvas se define como el conjunto geométrico de puntos para los cuales existe un valor para el cual se satisfacen ambas igualdades: $\gamma_\alfa$ $\alfa$ $F(\alfa, x, y) = 0$ $(x, y)$ $\alfa$

F(\alpha,x,y)={\parcial F \over \parcial \alpha }(\alpha,x,y)=0,

donde es la derivada parcial de la función con respecto al parámetro . $\tfrac{\parcial F}{\parcial \alpha}$ $F$ $\alfa$

Ejemplos

Para una familia de círculos del mismo radio centrados en una recta, la envolvente consta de dos rectas paralelas.
La astroide es la envoltura de una familia de segmentos de longitud constante, cuyos extremos se sitúan sobre dos rectas perpendiculares entre sí.
Una parábola es la envolvente de una familia de bisectrices perpendiculares para segmentos de línea que conectan un punto fijo ( el foco de la parábola) y una línea fija ( la directriz de la parábola).

La envolvente de la familia de líneas de Simson de un triángulo dado es un deltoides , el llamado deltoides de Steiner .

Véase también

Literatura

Zalgaller V. A. Teoría de la envolvente. — M .: Nauka, 1975. — 104 p.