La paradoja de D'Alembert

La paradoja de D' Alembert  ( paradoja de D'Alembert-Euler ) es un enunciado en la hidrodinámica de un fluido ideal , según el cual, en un estado estacionario (no necesariamente potencial [1] [2] y no separado [1] [ 3] ) fluyen alrededor de un cuerpo sólido por un flujo rectilíneo de traslación ilimitado, el líquido de discrepancia, siempre que los parámetros estén alineados muy por delante y por detrás del cuerpo, la fuerza de arrastre es cero.

Variaciones de nombre para la paradoja

Junto con el nombre de paradoja de d'Alembert [4] en la literatura científica hay nombres de paradoja de d'Alembert-Euler , paradoja de Euler-D'Alembert [5] [6] y paradoja de Euler [7] .

Antecedentes históricos

Sommerfeld [8] , refiriéndose a Oseen , menciona a Spinoza como uno de los primeros investigadores de la paradoja. Aparentemente, estamos hablando de la obra "Fundamentos de la filosofía de Descartes, probada por un método geométrico", en la que Spinoza analiza las condiciones bajo las cuales "un cuerpo, por ejemplo, nuestra mano, podría moverse en cualquier dirección con igual movimiento, sin contrarrestando en lo más mínimo a otros cuerpos y sin encontrar la oposición de otros cuerpos” [9] . En un caso especial de un flujo alrededor de un cuerpo simétrico con respecto a un plano transversal dentro de un canal, d'Alembert descubrió la resistencia que desaparece en 1744 [10] . En términos generales (para un cuerpo de forma arbitraria), la desaparición de la fuerza de resistencia fue establecida por Euler en 1745 [11] . El término " paradoja " fue utilizado por primera vez por d'Alembert en 1768 para caracterizar la resistencia que desaparece [12] .

Varias versiones de la paradoja de d'Alembert

En virtud del principio de relatividad de Galileo, también se puede hablar de la paradoja de d'Alembert en el caso del movimiento rectilíneo de traslación de un cuerpo con velocidad constante en un volumen infinito de un fluido ideal, que está en reposo en el infinito.

Además, la paradoja de d'Alembert es válida para un flujo alrededor de un cuerpo encerrado en un canal cilíndrico infinito.

Características de la formulación de la paradoja de d'Alembert

Es importante señalar que la formulación de la paradoja se refiere únicamente a la ausencia de una componente de la fuerza que actúa sobre el cuerpo, que es paralela al flujo en el infinito (la ausencia de una fuerza de arrastre ). La componente de fuerza que es perpendicular al flujo ( ascensor ) puede ser distinta de cero incluso si se cumplen todas las condiciones de la paradoja (por ejemplo, este es el caso de problemas bidimensionales: el ascensor se calcula usando el conocido Zhukovsky fórmula ).

Prestemos atención al hecho de que el momento de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo desde el lado del flujo puede, en términos generales, ser diferente de cero. Así, en el caso de un flujo continuo alrededor de un plato inclinado hacia el flujo, incluso a velocidad de circulación cero (y, en consecuencia, a una fuerza de elevación cero), surge un momento de fuerzas que tiende a rotar el plato a lo largo del flujo.

En presencia de fuerzas del cuerpo (por ejemplo, la gravedad), el cuerpo puede verse afectado por la fuerza de Arquímedes , pero no puede ser considerado un componente de la fuerza de resistencia, porque no se desvanece en un fluido en reposo.

Casos de violación de la paradoja de d'Alembert

Como es bien sabido, cuando un flujo de fluido real circula alrededor de un cuerpo, siempre existe una fuerza de resistencia distinta de cero, cuya presencia se explica por la violación de ciertas condiciones incluidas en la formulación de la paradoja de d'Alembert. En particular,

• si el fluido no es ideal (tiene una viscosidad finita), puede surgir una fuerza de resistencia, directa o indirectamente relacionada con la acción del rozamiento viscoso;
• si el movimiento de un cuerpo en un fluido no es estacionario, incluso en el modelo de un fluido no viscoso, surge una fuerza de resistencia inercial, debido al hecho de que cuando el cuerpo se mueve a una velocidad variable, la energía cinética del fluido circundante cambia con el tiempo;
• si el flujo no es continuo (por ejemplo, hay superficies de discontinuidad en el flujo), es posible que los parámetros de flujo muy por delante y por detrás del cuerpo no coincidan, lo que conduce a una resistencia distinta de cero. Los ejemplos son
  • un cuerpo en un flujo plano que genera una cadena de vórtices concentrados detrás de él ( modelo de calle de vórtice de Karman );
  • un ala de envergadura finita, desde la cual la superficie de discontinuidad de la componente tangencial de la velocidad desciende hasta el infinito (la llamada hoja de vórtice); la resistencia asociada a este fenómeno se denomina inductiva;
  • la formación de ondas de choque en el flujo de gas supersónico alrededor del cuerpo;
• si el fluido no ocupa todo el espacio alrededor del cuerpo, entonces también se puede violar la paradoja de d'Alembert. Ejemplos típicos son
  • la formación detrás del cuerpo de una cavidad que va al infinito llena de un líquido en reposo (el esquema de los flujos en chorro de Kirchhoff-Helmholtz, simulando la cavidad de cavitación);
  • la formación de ondas en la superficie de un líquido ( ondas gravitatorias sobre el agua), cuya creación requiere costes energéticos, lo que conduce a la aparición de la resistencia de las ondas ; la resistencia debida a la aparición de ondas internas cuando un cuerpo se mueve en un fluido estratificado (digamos, en el límite de dos capas de fluido con diferentes densidades) tiene una naturaleza similar;
• si los parámetros de flujo muy por delante y por detrás del cuerpo no se igualan, entonces la fuerza de arrastre también puede ser distinta de cero. En particular, este es el caso cuando se suministra energía térmica al flujo o cuando se forma una región ("traza") detrás del cuerpo, cuyos parámetros difieren de los parámetros en el flujo principal en el infinito.

Resultados experimentales

Si creamos condiciones en las que el flujo alrededor del cuerpo sea lo suficientemente cercano a las condiciones en la formulación de la paradoja de d'Alembert, por ejemplo, le damos al cuerpo una forma aerodinámica (en forma de gota o elipsoidal), entonces es posible lograr una reducción significativa de la resistencia (decenas y cientos de veces) en comparación con cuerpos poco aerodinámicos (por ejemplo, en forma de cubo) con la misma sección media . Lo anterior se aplica a flujos con números de Reynolds altos ; en el caso contrario de pequeños números de Reynolds (las llamadas corrientes progresivas ), la resistencia de cuerpos alargados en forma de gota con una gran superficie puede, por el contrario, ser mayor que la resistencia de cuerpos "poco aerodinámicos".

Cuando las partículas se mueven en los sólidos , se conoce el efecto de "penetración superprofunda" [13] . Una de las explicaciones de este efecto es cualitativamente similar a la paradoja de d'Alembert: la disminución de la resistencia se logra debido a que bajo ciertas condiciones se reduce el impacto de la partícula en su entorno (el canal formado detrás de la partícula colapsa [ 14] [15] , y hay significativasdeformaciones plásticas [16] ).

Literatura

• Grimberg G., Pauls W., Frisch U. Génesis de la paradoja de d'Alembert y elaboración analítica del problema del arrastre  // Physica D. - 2008. - T. 237 .

Enlaces

• D'Alembert - paradoja de Euler - artículo de la Gran Enciclopedia Soviética . 

Véase también

• paradoja de dubois

Notas

1. ↑ 1 2 "Al probar la paradoja de d'Alembert, en términos generales, no se asume que el movimiento de un líquido es potencial y que no hay cavidades finitas en el líquido lleno de gas, vapor o líquido" ( Sedov L.I. Continuum Mechanics .- M. : Nauka, 1970. - T. 2. - S. 74. - 568 p. ).
2. ↑ Cherny G. G. Dinámica de gases . - M. : Nauka, 1988. - S. 118-120. — 424 págs. — ISBN 5-02-013814-2 .
3. ↑ “Si la cavidad tuviera una longitud finita, entonces, en base a la bien conocida propiedad de un movimiento irrotacional constante <...> la fuerza de resistencia que actúa desde el lado del fluido sobre el cuerpo junto con la cavidad sería igual a cero y, por lo tanto, sería igual a cero y la fuerza de resistencia que actúa sobre el cuerpo ”( Batchelor J. Introducción a la dinámica de fluidos / Traducido del inglés bajo la dirección de G. Yu. Stepanov . - M . : Mir, 1973. - Pág. 614. - 760 pág. ).
4. ↑ Sedov, pág. 71.
5. ↑ Negro, pág. 120.
6. ↑ Kochin N. E. , Kibel I. A. , Rose N. V. Hidromecánica teórica . - M. : Fizmatgiz, 1963. - T. 1. - 584 p.
7. ↑ Chaplygin S. A. Los resultados de los estudios teóricos sobre el movimiento de los aviones // Obras Escogidas. Mecánica de líquidos y gases. Matemáticas. Mecánica general. - M. : Nauka, 1976. - S. 131-141 .
8. ↑ Sommerfeld A. Mecánica de medios deformables / Per. con él. E. M. Lifshitz . - M. : IL , 1954. - S. 264. - 488 p.
9. ↑ Spinoza B. [libgen.org/book/index.php?md5=BC592FA6208C2CF7A4852EDBDD999B7C Obras seleccionadas en dos volúmenes] / Ed. general. e introducción artículo de V. V. Sokolov. - M .: Politizdat , 1957. - T. 1. - S. 256. - 632 p.  (enlace no disponible)
10. ↑ Artículo 247 y fig. 77 en el libro: D'Alembert. Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides . — 1744.
11. ↑ Euler L. Nuevos cimientos para la artillería  // Ed. BN Okunev Investigación en balística. - M. : Fizmatlit, 1961. - S. 7-452 .
12. ↑ D'Alembert. Paradoxe proposé aux Géomètres sur la resistance des fluides  // Opuscules mathématiques. - París, 1768. - T. 5 . - S. 132-138 .
13. ↑ Kozorezov K. I., Maksimenko V. N., Usherenko S. M. Investigación de los efectos de la interacción de micropartículas discretas con un sólido // Temas seleccionados de mecánica moderna. - M. : Editorial de Moscú. un-ta, 1981. - S. 115-119 .
14. ↑ Grigoryan S.S. Sobre la naturaleza de la penetración "superprofunda" de micropartículas sólidas en materiales sólidos // DAN URSS. - 1987. - T. 292 , N º 6 . - S. 1319-1323 .
15. ↑ Cherny G.G. El mecanismo de resistencia anormalmente baja durante el movimiento de cuerpos en medios sólidos // DAN SSSR. - 1987. - T. 292 , N º 6 . - S. 1324-1328 .
16. ↑ Kiselev S.P., Kiselev V.P. Sobre el mecanismo de penetración superprofunda de partículas en una barrera metálica  // Prikl. - 2000. - T. 41 , N º 2 . - S. 37-46 .