Mezcla (sistemas dinámicos)

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En la teoría de los sistemas dinámicos , la mezcla es la propiedad de un sistema de "olvidar" información sobre la condición inicial a lo largo del tiempo. Más precisamente, se hace una distinción entre mezcla topológica y métrica . El primero se refiere a la teoría de los sistemas continuos y, en términos generales, establece que no importa cuán exactamente se conozca la posición inicial de un punto, con el tiempo su posible ubicación se vuelve un conjunto cada vez más denso. El segundo se refiere a la teoría de los sistemas medibles -sistemas que conservan alguna medida- y establece que la distribución es absolutamente continua con respecto a la medida (por ejemplo, restricciones sobre un subconjunto dado $\mu$ $\mu$ $\mu$ condiciones iniciales) en las iteraciones tiende a la medida en sí . $\mu$

Sea un atractor de un sistema caótico sobre el que se dan el operador de evolución del sistema y una medida invariante . Segmentamos el atractor en 2 regiones, y La razón de la medida de los puntos de la región que, a través de las iteraciones del operador de evolución , cayeron en la región se puede escribir de la siguiente manera: $GRAMO$ $S(G)$ $\mu$ $B$ ${\ estilo de visualización W.}$ $B$ $norte$ $S$ ${\ estilo de visualización W,}$

$D_{n}={\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W))).$

El operador de evolución es una mezcla si at , el valor no depende de la elección de la región y está determinado por la relación at . Esta fórmula, desde un punto de vista físico, describe el desdibujamiento de cualquier área de condiciones iniciales sobre todos los atractores . En el límite, , la medida de las imágenes de los puntos del conjunto en el conjunto es igual a la medida del conjunto en el atractor para conjuntos arbitrarios y [1] $S$ $n\rightarrow\infty$ $D_{n}$ ${\ estilo de visualización W,}$ ${\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)))\rightarrow {\frac {\mu (B)}{\mu (G)} }$ $n\rightarrow\infty$ $B$ $GRAMO$ $n\rightarrow\infty$ $B$ $W$ $B$ $GRAMO$ $B$ ${\ estilo de visualización W.}$

Definiciones

Mezcla topológica

Por definición, se dice que un sistema dinámico (continuo) se mezcla topológicamente si, para cualesquiera dos conjuntos abiertos no vacíos , $f:X\a X$ ${\ estilo de visualización A, B \ subconjunto X}$

\existe N:\quad \forall n\geq N\quad f^{n}(A)\cap B\neq \emptyset ,

o, lo que es lo mismo,

\existe N:\quad \forall n\geq N\quad A\cap f^{-n}(B)\neq \emptyset ,

En particular, esto significa que para cualquier conjunto abierto dado y no vacío , todas las iteraciones con un número suficientemente grande resultan ser densas en el espacio de fase. $\varepsilon >0$ $A$ $A$ $\varepsilon$

La mezcla topológica es una propiedad más fuerte que la transitividad . Así, una rotación irracional de un círculo es transitiva, pero no se mezcla.

Mezcla métrica

Por definición, se dice que un mapeo medible que preserva la medida se mezcla métricamente si para dos conjuntos medibles cualquiera , $f:(X,{\mathcal {A)],\mu )\to (X,{\mathcal {A)),\mu )$ $A,B\in {\mathcal {A}}$

\mu (f^{-n}(A)\cap B)\to \mu (A)\mu (B),\quad n\to \infty .

En términos de funciones integrables, esto es equivalente a decir que para dos funciones cualesquiera , ${\ estilo de visualización \ varphi, \ psi \ en L_{2} (X, \ mu)}$

\int _{X}\varphi (f^{n}(x))\psi (x)\,d\mu (x)\to \int _{X}\varphi \,d\mu \ cdot \int _{X}\psi \,d\mu .

La ergodicidad de una medida es una condición necesaria pero no suficiente para la mezcla métrica. Así, una rotación irracional de un círculo conserva su medida ergódica de Lebesgue , pero no se mezcla métricamente. $\mu$

Véase también

Transitividad (sistemas dinámicos)
Teoría espectral de sistemas dinámicos

Notas

↑ M.Yu.Logunov, O.Ya.Butkovsky. Mezcla y Lyapunov exponentes de sistemas caóticos.

Literatura

Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V., Teoría ergódica.
Sinai Ya. G., Problemas modernos de la teoría ergódica, Moscú: FizMatLit, 1995, p. 24
Katok A. B. , Hasselblat B. Introducción a la Teoría Moderna de los Sistemas Dinámicos / trad. De inglés. A. Kononenko con la participación de S. Ferleger. - M. : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .