Turno dado

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Rotación dada : en álgebra lineal , un operador lineal para rotar un vector en un ángulo dado .

Matriz de Givens [1] [2] [3]

La matriz de Givens tiene la siguiente forma: ${\ Displaystyle G_ {kl}}$

$G_{kl}={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\cos {\ phi }&\cdots &-\sin {\phi }&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\sin {\phi }&\cdots &\ porque {\phi }&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix))$

Esta matriz difiere de la matriz identidad solo por la submatriz

$M(\phi )={\begin{bmatriz}\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatriz))$

ubicado en filas y columnas con números y . es ortogonal. $k$ $yo$

Si se da un vector , entonces eligiendo $a={\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$ $s={\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))}\neq 0$

porque ⁡ ϕ = a k a k 2 + a yo 2 {\displaystyle \cos {\phi }={\frac {a_{k}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))} $\cos {\phi }={\frac {a_{k}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))$ pecado ⁡ ϕ = − a yo a k 2 + a yo 2 {\displaystyle \sin {\phi }={\frac {-a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))} $\sin {\phi }={\frac {-a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))$

puede establecer el componente th del vector a cero : $yo$ $a$

[ porque ⁡ ϕ − pecado ⁡ ϕ pecado ⁡ ϕ porque ⁡ ϕ ] [ a k a yo ] = [ porque ⁡ ϕ ⋅ a k − pecado ⁡ ϕ ⋅ a yo pecado ⁡ ϕ ⋅ a k + porque ⁡ ϕ ⋅ a yo ] = [ a k 2 + a yo 2 a k 2 + a yo 2 − a yo ⋅ a k + a k ⋅ a yo a k 2 + a yo 2 ] = [ a k 2 + a yo 2 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix)){\begin{bmatrix} a_{k}\\a_{l}\end{bmatriz}}={\begin{bmatriz}\cos {\phi }\cdot a_{k}-\sin {\phi }\cdot a_{l}\\ \sin {\phi }\cdot a_{k}+\cos {\phi }\cdot a_{l}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}{\frac {a_{k}^{2} +a_{l}^{2}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\\{\frac {-a_{l}\cdot a_{k }+a_{k}\cdot a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} {\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}\\0\end{bmatriz}}}

{\begin{bmatrix}\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix)){\begin{bmatrix} a_{k}\\a_{l}\end{bmatriz}}={\begin{bmatriz}\cos {\phi }\cdot a_{k}-\sin {\phi }\cdot a_{l}\\ \sin {\phi }\cdot a_{k}+\cos {\phi }\cdot a_{l}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}{\frac {a_{k}^{2} +a_{l}^{2}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\\{\frac {-a_{l}\cdot a_{k }+a_{k}\cdot a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} {\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}\\0\end{bmatriz}}

Usando las rotaciones de Givens, se puede calcular la descomposición QR de matrices y dibujar matrices hermitianas en una forma tridiagonal .

Uso de matrices de Givens para tridiagonalización

Queremos reducir una matriz simétrica a una forma tridiagonal: $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1p}&\cdots &a_{1q}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \ \a_{p1}&\cdots &a_{pp}&\cdots &a_{pq}&\cdots &a_{pn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{q1}&\cdots &a_{ qp}&\cdots &a_{qq}&\cdots &a_{qn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{np}&\cdots &a_{nq}& \cdots &a_{nn}\end{bmatriz}}$

donde _ Luego lo multiplicamos por la matriz de rotación de Givens: . es la matriz transpuesta. Esto cambiará solo los elementos , y $a_{pq}=a_{qp}$ $G'_{pq}(\theta )AG_{pq}(\theta )$ $GRAMO$ $a_{pp}$ ${\ Displaystyle a_ {pq}}$ ${\ Displaystyle a_ {qq}}$

${\displaystyle a'_{pp}=c^{2}a_{pp}+2csa_{pq}+s^{2}a_{qq))$

${\displaystyle a'_{pq}=sc(a_{qq}-a_{pp})+(c^{2}-s^{2})a_{pq))$

${\displaystyle a'_{qq}=s^{2}a_{pp}-2csa_{pq}+c^{2}a_{qq))$

Aquí el primo denota el elemento que aparece después de la rotación. Elijamos los coeficientes y para que el elemento fuera de la diagonal se haga cero y la relación entre y con y $C$ $s$ $C$ $s$ ${\ estilo de visualización \ cos \ phi}$ ${\ estilo de visualización \ sin \ phi}$

Después: $\phi =1/2\tan ^{-1}(2a_{pq}/(a_{pp}-a_{qq}))$

$c=\cos \phi$

$s=\sin\phi$

Tal rotación se aplica secuencialmente para poner a cero todos los elementos de la primera fila, excepto los dos primeros. Es decir, (1,2), (1,3), (1,4)...(1,n) Entonces la co-segunda línea (2,3),(2, 4)...(2 ,n)

Código C++:

para ( sin signo int i = 0 ; i < N -1 ; ++ i ) { for ( sin signo int j = i + 2 ; j < N ; ++ j ) { t = 2 * matr [ i ][ j ] / ( matr [ i ][ i ] - matr [ j ][ j ]); phi = 0.5 * atán ( t ); c = cos ( fi ); s = pecado ( fi ); bii = c * c * matr [ i ][ i ] + 2 * c * s * matr [ i ][ j ] + s * s * matr [ j ][ j ]; bij = s * c * ( matr [ j ][ j ] - matr [ i ][ i ]) + matr [ i ][ j ] * ( c * c - s * s ); bjj = s * s * matr [ i ][ i ] + c * c * matr [ j ][ j ] - 2 * c * s * matr [ i ][ j ]; bji = bij ; matr [ yo ][ yo ] = bii ; matr [ yo ] [ j ] = bij ; matr [ j ][ i ] = bji ; matr [ j ][ j ] = bjj ; } }

Notas

↑ Tyrtyshnikov E. E. Métodos de análisis numérico. - M. , 2006. - S. 73-74.
↑ Björck, Åke, 1934-. Métodos numéricos para problemas de al menos cuadrados . - Filadelfia: SIAM, 1996. - S. 121-123. — xvii, 408 páginas p. - ISBN 0-89871-360-9 , 978-0-89871-360-2.
↑ Demmel, James W. Álgebra lineal numérica aplicada . - Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. - S. 53-56. — xi, 419 páginas p. - ISBN 0-89871-389-7 , 978-0-89871-389-3, 0-89871-361-7, 978-0-89871-361-9.