Descomposición QR

$código QR$ -descomposición de una matriz - una representación de una matriz como producto de una matriz unitaria (u ortogonal ) y una matriz triangular superior . La descomposición QR es la base de uno de los métodos para encontrar vectores propios y números de matriz: el algoritmo QR [1] .

Definición

La matriz de tamaño , donde , con elementos complejos se puede representar como $A$ $n \veces m$ ${\ Displaystyle n \ geqslant m}$

A = QR,

donde es una matriz de tamaño con columnas ortonormales y es una matriz triangular superior de tamaño . Para , la matriz es unitaria . Si, además, no es degenerada , entonces la descomposición es única y la matriz se puede elegir de modo que sus elementos diagonales sean números reales positivos. En un caso particular, cuando la matriz está formada por números reales , las matrices y también pueden elegirse como reales, además, es ortogonal [2] . $q$ $n \veces m$ $R$ $m \veces m$ $n=m$ $q$ $A$ $código QR$ $R$ $A$ $q$ $R$ $q$

Por analogía, si es una matriz de tamaño , donde , entonces se puede descomponer como $A$ $n \veces m$ $n\leqslant m$

{\ estilo de visualización A = LP,}

donde la matriz de orden es triangular inferior y la matriz de tamaño tiene filas ortonormales [1] . $L$ $norte$ $PAGS$ $n \veces m$

Algoritmos

$código QR$ -la descomposición se puede obtener por varios métodos. Puede calcularse más fácilmente como un subproducto del proceso de Gram-Schmidt [2] . En la práctica, se debe utilizar el algoritmo de Gram-Schmidt modificado , ya que el algoritmo clásico tiene poca estabilidad numérica [3] .

Los algoritmos alternativos para calcular la expansión se basan en las reflexiones de Householder y las rotaciones de Givens [4] . $código QR$

Un ejemplo de una descomposición QR

Considere la matriz :

${\mathsf {\mathrm {A} }}=$ ${\begin{pmatrix}1&2&4\\3&3&2\\4&1&3\end{pmatrix}}$

Denotado por los vectores columna de la matriz dada, obtenemos el siguiente conjunto de vectores: $a_{1},a_{2},a_{3}$ ${\mathsf {\mathrm {A} )).$

$a_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix)),$ $a_{2}={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix)),$ $a_{3}={\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}}$

A continuación, aplicamos el algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt y normalizamos los vectores resultantes, obtenemos el siguiente conjunto:

$e_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}\\{ \frac{4{\sqrt {26}}}{26}}\end{pmatrix}},$ $e_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}\\{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}} \\-{\frac {34{\sqrt {3614}}}{3614}}\end{pmatrix}},$ $e_{3}={\begin{pmatrix}{\frac {9{\sqrt {139}}}{139}}\\-{\frac {7{\sqrt {139}}}{139} }\\{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{matrix}}$

A partir de los vectores obtenidos , componemos la matriz Q por columnas a partir de la descomposición: $e_{1},e_{2},e_{3}$

$Q={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}&{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}&{\frac {9{ \sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}&{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}}&- {\frac {7{\sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {4{\sqrt {26}}}{26}}&-{\frac {34{\sqrt {3614}} }{3614}}&{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{matrix}}.$ La matriz resultante es ortogonal , lo que significa que $Q^{-1}=Q^{T}.$

Encontremos la matriz a partir de la expresión : $R$ $R=Q^{-1}A=Q^{T}A$

$R={\begin{pmatrix}{\sqrt {26}}&3{\sqrt {\frac {2}{13}}}+{\frac {9}{\sqrt {26}}}&11{ \sqrt {\frac {2}{13}}}\\0&20{\sqrt {\frac {2}{1807}}}+{\frac {99}{\sqrt {3614}}}&56{\sqrt { \frac {2}{1807}}}\\0&0&{\frac {31}{\sqrt {139}}}\end{pmatrix}}$ es la matriz triangular superior deseada .

Tengo una división . $A = QR$

Notas

↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , pág. 114.
↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , pág. 112.
↑ Horn y Johnson, 1990 , pág. 116.
↑ Horn y Johnson, 1990 , pág. 117.

Literatura

Horn, R.A. , Johnson CR Análisis matricial . - Prensa de la Universidad de Cambridge , 1990. - ISBN 0-521-30586-1 .

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro