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El exponente de Hölder (también conocido como exponente de Lipschitz ) es una característica de la suavidad de una función . El exponente de Hölder local (puntual) caracteriza la suavidad local (irregularidad local) de una función en un punto. En general, el exponente de Hölder es real. $\alfa$

Definición

Una función tiene un exponente de Hölder local (o puntual ) en un punto cuando existe una constante y un polinomio de orden tal que $F$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ geqslant 0}$ $v$ $K\geqslant 0$ ${\ Displaystyle p_ {v}}$ ${\ estilo de visualización m = \ alfa}$ $\forall t\in \mathbb {R}$

|f(t)-p_{v}(t)|\leqslant K|tv|^{\alpha }.

Si una función es regular de Hölder con un exponente (tiene un exponente de Hölder homogéneo ) en una vecindad del punto , entonces esto significa que la función es necesariamente diferenciable por veces en esta vecindad. $F$ $\alfa$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización \ alfa > m}$ $v$ $metro$

Una función que se rompe en un punto tiene exponente de Hölder en ese punto. $v$ $\alpha=0$

El exponente de Hölder local (puntual) puede variar arbitrariamente en el tiempo. Esta variación puede ser producida por una función con las llamadas irregularidades no aisladas , donde la función tiene una regularidad de Hölder diferente en cada punto. Por el contrario, un exponente de Hölder constante en el tiempo (homogéneo) proporciona una medida de regularidad más global que se aplica a todo el intervalo.

Hablando informalmente, el exponente de Hölder determina la diferenciabilidad fraccionaria de una función (en un punto).

Propiedades

El exponente de Hölder de una función en un conjunto está determinado por la caída límite de su transformada de Fourier . La señal está acotada y tiene un exponente de Hölder uniforme en el conjunto si . $F$ $\matemáticas {R}$ $\alfa$ $\matemáticas {R}$ $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {f))(\omega )|(1+|\omega |^{\alpha })\,d\omega <+\infty$

El exponente de Hölder local se puede calcular en función del decaimiento de los coeficientes de transformada de wavelet de la función, que están en la línea de máximos locales del módulo de transformada de wavelet [1] .

Véase también

Notas

↑ Mallat S., Hwang WL Detección y procesamiento de singularidades con wavelets // IEEE Transactions on Information Theory. - 1992. - vol. 38.-No. 2.- Pág. 617-639.

Enlaces

La condición de Hölder-Lipschitz y su significado geométrico