Función suave

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Una función suave , o una función continuamente diferenciable , es una función que tiene una derivada continua en todo el conjunto de definiciones. Muy a menudo, las funciones suaves significan funciones que tienen derivadas continuas de todos los órdenes.

Información básica

También se consideran funciones suaves de órdenes superiores, es decir, una función con el orden de suavidad tiene derivadas continuas de todos los órdenes hasta e incluyendo (la derivada de orden cero es la función misma). Tales funciones se llaman - smooth . El conjunto de funciones suaves definidas en el dominio se denota por . La notación significa que para cualquier , tales funciones se llaman infinitamente suaves ( a veces por funciones suaves quieren decir exactamente infinitamente suaves). A veces también se utiliza la notación o , lo que significa que es analítica . $r\geqslant 0$ $r$ $r$ $r$ $\Omega$ $C^{r}(\Omega)$ $f\in C^{\infty}(\Omega )$ $f\en C^{r}(\Omega )$ $r$ $f\in C^{\omega }(\Omega )$ $f\in C^{a}(\Omega )$ $F$

Por ejemplo, es el conjunto de funciones que son continuas en , y es el conjunto de funciones que son continuamente diferenciables en , es decir, funciones que tienen una derivada continua en cada punto de esta región. $C^{0}(\Omega)$ $\Omega$ $C^{1}(\Omega)$ $\Omega$

Si no se especifica el orden de suavidad, generalmente se supone que es suficiente para dar sentido a todas las operaciones realizadas en la función en el curso del argumento actual.

Aproximación por funciones analíticas

Sea una región en y , . Sea una sucesión de subconjuntos compactos tal que , y . Sea una secuencia arbitraria de enteros positivos y . Finalmente, sea una secuencia arbitraria de números positivos. Entonces existe una función real-analítica definida de tal manera que para cualquier desigualdad $\Omega$ $\mathbb{R} ^{n}$ $f\en C^{k}(\Omega )$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $\{K_{p}\}$ $\Omega$ $K_{0}=\varnada$ $K_{p}\subconjunto K_{{p+1}}$ $\bigcup K_{p}=\Omega$ $\{notario público}\}$ $m_{p}=\min(k,\;n_{p})$ $\{\varepsilon _{p}\}$ $gramo$ $\Omega$ $p\geqslant 0$

\|fg\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\barra invertida K_{p}})}<\varepsilon _{p},

donde denota el máximo de las normas (en el sentido de convergencia uniforme , es decir, el módulo máximo en el conjunto ) de las derivadas de una función de todos los órdenes desde cero hasta ambos inclusive. $\|fg\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\barra invertida K_{p))))}$ ${K_{p+1}\barra invertida K_{p}}$ $fg$ ${\ estilo de visualización {m_ {p}}}$

Suavidad fraccional

Para un análisis fino de clases de funciones diferenciables , también se introduce el concepto de suavidad fraccionaria en un punto o el exponente de Hölder , que generaliza todos los conceptos de suavidad anteriores. La función pertenece a la clase , donde es un entero no negativo y si tiene derivadas hasta el orden inclusive y es Hölder con exponente . $F$ $C^{{r,\;\alfa}}$ $r$ $0<\alfa \leqslant 1$ $r$ $f^{{(r)}}$ $\alfa$

En la literatura traducida, junto con el término "exponente de Hölder" , se utiliza el término "exponente de Lipschitz".

Función suave

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Aproximación por funciones analíticas

Suavidad fraccional

Véase también