Conjunto de cobertura (teoría de números)

En matemáticas , el conjunto que cubre una sucesión de números enteros es el conjunto de números primos tales que cada miembro de la sucesión es divisible por al menos un número del conjunto. El término "conjunto de cobertura" solo se usa para secuencias que crecen exponencialmente.

Números de Sierpinski y Riesel

El uso del término "conjunto de cobertura" está relacionado con los números de Sierpinski y Riesel . Estos son números naturales impares , para los cuales (el número de Sierpinski) o (el número de Riesel) son compuestos. $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

Desde 1960 se sabe que hay infinitos números de Sierpinski y Riesel, pero como hay infinitos números de la forma o para cualquier , entonces para probar la pertenencia a los números de Sierpinski y Riesel, es necesario verificar que cualquier miembro de la secuencia o es divisible por los números primos del conjunto que lo cubre. $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$ $k$ $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

Estos conjuntos de cobertura se forman a partir de números primos que tienen un período corto en representación binaria . Se puede demostrar que para obtener un conjunto de cobertura completo, el período debe ser de al menos 24 números.[ aclarar ] Un período de longitud 24 da un conjunto de cobertura , y un período de longitud 36 da conjuntos de cobertura :; ; y . Los números de Riesel tienen los mismos juegos de cobertura que los números de Sierpinski. ${\ estilo de visualización \ {\, 3,5,7,13,17,241\,\))$ ${\ estilo de visualización \ {\, 3,5,7,13,19,37,73, \))$ ${\ estilo de visualización \ {\, 3,5,7,13,19,37,109\,\))$ ${\ estilo de visualización \ {\, 3,5,7,13,19,73,109\,\))$ ${\ estilo de visualización \ {\, 3,5,7,13,37,73,109\,\))$

Otros juegos de revestimientos

Los conjuntos de cobertura también se utilizan para demostrar la existencia de secuencias compuestas de Fibonacci (secuencia libre de primos ).

El concepto de conjuntos de cobertura se puede generalizar fácilmente a otras secuencias. En los siguientes ejemplos, + se usa de la misma manera que en las expresiones regulares : significa 1 o más. Por ejemplo 91 + 3 significa conjunto {913, 9113, 91113, 911113…}

Un ejemplo es la secuencia:

$(82\cdot 10^{n}+17)/9$ o ${\ estilo de visualización 91 ^ {+} 3}$
$(85\cdot 10^{n}+41)/9$ o ${\ estilo de visualización 94^{+} 9}$
$(86\cdot 10^{n}+31)/9$ o ${\ estilo de visualización 95^{+} 9}$

En cada caso, cada término es divisible por uno de los números primos {3,7,11,13}. Estos números primos forman un conjunto de cobertura exactamente igual que los números de Sierpinski y Riesel.

Un caso aún más simple es la siguiente secuencia:

$(76\cdot 10^{n}-67)/99$ ( n debe ser impar ) o [Secuencia: 7, 767, 76767, 7676767, 767676767, etc.] ${\ estilo de visualización (76) ^ {+} 7}$

Se puede demostrar que:

Si , entonces (con el número adecuado de repeticiones) es divisible por 7. ${\ estilo de visualización n = 6k + 1}$ ${\ estilo de visualización (76) ^ {+} 7}$
Si , entonces es divisible por 13. ${\ estilo de visualización n = 6k + 3}$ ${\ estilo de visualización (76) ^ {+} 7}$
Si , entonces es divisible por 3. ${\ estilo de visualización n = 6k + 5}$ ${\ estilo de visualización (76) ^ {+} 7}$

Por lo tanto, tenemos un conjunto de cobertura de solo tres números primos {3,7,13}. Esto fue posible solo porque impusimos la condición de que n debe ser impar.

El conjunto de cobertura también se encuentra en la secuencia:

$(343\cdot 10^{n}-1)/9$ o . ${\ estilo de visualización 381 ^ {+}}$

Se puede demostrar que:

Si , entonces es divisible por 3. ${\ estilo de visualización n=3^{k}+1}$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Si , entonces es divisible por 3. ${\ estilo de visualización n = 3 ^ {k} + 2}$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Si , entonces se descompone en . ${\ estilo de visualización n = 3 ^ {k}}$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$ $((7\cdot 10^{k}-1)/3)\cdot ((49\cdot 10^{2}k+7\cdot 10^{k}+1)/3)$

Dado que se puede escribir como , para la sucesión tenemos un conjunto de cobertura , un conjunto de cobertura con un número infinito de miembros. $(7\cdot 10^{k}-1)/3$ ${\ estilo de visualización 23^{+))$ ${\ estilo de visualización 381 ^ {+}}$ ${\ estilo de visualización \ {\,3,37,23^{+}\,\))$

Enlaces

Plateau and Depression Primes Archivado el 26 de julio de 2013 en Wayback Machine .
Números similares a Sierpinski Archivado el 17 de julio de 2012 en Wayback Machine .
Yves Gallot, A search for some small brier number . Archivado el 9 de abril de 2016 en Wayback Machine .
Louis Helm lhelm. Phil Moore, Payam Samidoost, George Woltman. Resolución del problema mixto de Sierpiński Archivado el 12 de marzo de 2016 en Wayback Machine , ENTEROS: Revista electrónica de teoría de números combinatorios 8 (2008), #A61