Polinumeros

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El álgebra de polinúmeros se implementa mediante elementos de la forma: $P_{n}$ ${\ estilo de visualización A \ en P_ {n}}$

A=A_{1}e_{1}+\dots +A_{n}e_{n},

donde a es un conjunto de generadores que obedecen las siguientes reglas de multiplicación (la multiplicación es conmutativa y asociativa): $A_{i}\en \mathbb {R} ,$ $e_{yo}$ $P_{n}$

e_{i}e_{j}=0\quad (i\neq j),\quad e_{i}^{2}=e_{i},

y en sí mismo es el siguiente objeto ( suma directa ):

P_{n}~{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}~\underbrace {\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \cdots \oplus \mathbb {R } } _ {n}=\bigoplus ^{n}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}.

Polinúmeros (n-números)

Es fácil comprobar que la multiplicación en el álgebra de polinúmeros en la base elegida se reduce a la multiplicación de los componentes correspondientes, y la división se define sólo para polinúmeros que lo tienen todo (por eso, los polinúmeros no forman un cuerpo numérico ). La unidad algebraica tiene la siguiente representación en la base elegida: $A_{i}\neq 0$

{\displaystyle I=e_{1}+\dots +e_{n))

Hay n-1 operaciones de conjugación complejas en el álgebra . Uno de ellos puede ser definido por la siguiente regla: $P_{n}$

A^{(1)}=A^{\ast}=A_{n}e_{1}+A_{1}e_{2}+\dots +A_{n-1}e_{n},

que se reduce a una permutación cíclica de los componentes del polinúmero . La conjugación compleja k -ésima se puede definir mediante la fórmula : $A$

A^{(k)}=A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots})^{\ast }\quad

( - veces)

k

Es obvio que $A^{(n)}=A.$

Considere un polinúmero de la forma

N(A)=AA^{(1)}A^{(2)}\puntos A^{(n-1)},

(una)

donde _ ${\ estilo de visualización A \ en P_ {n}}$

Es fácil comprobar que es real en el sentido de que ${\ estilo de visualización N (A)}$

N(A)=r^{n}Yo,

donde _

{\ estilo de visualización r ^ {n} \ en R}

El número se llama la (cuasi) norma del polinúmero . La cuasi-norma se expresa en términos de las coordenadas del polinúmero mediante la fórmula: $r$ $A$ $r$ $A$

r^{n}=A_{1}A_{2}\puntos A_{n}=G(A,A,\puntos,A)

, (2)

donde esta la forma n $GRAMO$

G={\sombrero {S}}\left(dx^{1}\otimes \cdots \otimes dx^{n}\right)

, (3)

${\ estilo de visualización {\ sombrero {S}}}$ es el operador de simetrización. Esta forma es una métrica (de Finsler) en los espacios de Berwald-Moor . Las fórmulas (1)-(3) aclaran la conexión entre el álgebra de polinúmeros y los espacios de Berwald-Moor: la forma métrica n (3) es inducida por la forma algebraica real , que es un análogo multidimensional de la forma cuadrática euclidiana en el plano complejo ${\ estilo de visualización N (A)}$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{\ast))$ .

Por analogía con la forma bilineal compleja:

(\zeta ,\xi )=\mathrm {Re} (\zeta \xi )

donde , podemos considerar la forma n -lineal ${\ estilo de visualización \ zeta, \ xi \ en \ mathbb {C}}$

(A,B,\dots,Z)={\text{Re}}(AB\dots Z)=\sum \limits _{\sigma (A,B,\dots,Z)}AB^{ (1)}C^{(2)}\puntos Z^{(n-1)}=n!G(A,B,{\puntos },Z).\quad

(cuatro)

Aquí la suma se realiza sobre el conjunto de todas las permutaciones de elementos . El último signo igual en (4) (que se establece por verificación directa) también revela la conexión genética entre las álgebras de polinúmeros y las geometrías de los correspondientes espacios de Berwald-Moor. ${\ estilo de visualización \ sigma (A, B, {\ puntos}, Z)}$ ${\displaystyle A,B,{\dots},Z\in P_{n))$

Se puede demostrar que el álgebra de polinúmeros descrita anteriormente es la suma directa de instancias del álgebra de números reales . Entre todas las álgebras asociativas-conmutativas, es, en cierto sentido, máximamente simétrica (contiene unidades imaginarias hiperbólicas). Una construcción más general será un álgebra de polinúmeros , que es una suma directa de instancias del álgebra de números reales e instancias del álgebra de números complejos [1] . $P_{n}$ $norte$ $\matemáticas {R}$ $norte$ $P_{n,m},$ $norte$ $\matemáticas {R}$ $metro$ $\matemáticas {C}$

Notas

↑ G. I. Garasko, Fundamentos de la geometría de Finsler para físicos, M.: Tetru, 2009.

Literatura

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. números hipercomplejos. M.: Nauka, 1973, p.138-140
M. A. Lavrentiev, B. O. Shabat. Problemas de hidrodinámica y sus modelos matemáticos. Moscú: Nauka, 1977.
G. I. Garasko. Fundamentos de la geometría de Finsler para físicos. M.: Tetra, 2009.
S. S. Kokarev . Conferencias sobre geometría de Finsler y números hipercomplejos. El sábado. trabajos científicos del RNEC “Logos”, vol. 5, Yaroslavl (2010), págs. 19-121