Experimento factorial completo

Experimento factorial completo (FFE) : un conjunto de varias medidas que satisfacen las siguientes condiciones:

El número de medidas es 2 n , donde n es el número de factores;
Cada factor toma solo dos valores : superior e inferior;
Durante la medición, los valores superior e inferior de los factores se combinan en todas las combinaciones posibles.

Las ventajas de un experimento factorial completo son

facilidad de resolución del sistema de ecuaciones para la estimación de parámetros ;
redundancia estadística en el número de mediciones, lo que reduce el impacto de los errores de medición individuales en la estimación de parámetros.

Preliminares

Estimación de parámetros del sistema

En la práctica, a menudo se requiere evaluar los parámetros de un determinado sistema, es decir, construir su modelo matemático y encontrar los valores numéricos de los parámetros de este modelo. Los datos iniciales para construir el modelo son los resultados del experimento , que es una colección de varias mediciones realizadas de acuerdo con un plan específico. En el caso más simple, el plan es una descripción de las condiciones de medición, es decir, los valores de los parámetros de entrada (factores) durante la medición.

Como ejemplo de sistemas, cuya estimación de parámetros es relevante desde un punto de vista práctico, pueden servir varios procesos tecnológicos. Para ilustrar, considere el proceso de fotolitografía.

La fotolitografía es la aplicación de un patrón a una superficie utilizando un método fotográfico. Consta de las siguientes etapas: preparación de la superficie, aplicación de una emulsión fotosensible ( photoresist ), secado, instalación de un stencil o placa con patrón negativo, exposición (iluminación) con rayos ultravioleta, grabado (revelado). Dado que las sutilezas tecnológicas de la fotolitografía no son importantes en este contexto, consideraremos el espesor de la emulsión fotosensible d (en micras) y el tiempo de exposición t (en segundos) como los principales factores que afectan el proceso de litografía. El parámetro de salida (respuesta) del proceso será su resolución R , es decir, el número máximo de líneas distinguibles que se pueden dibujar en un milímetro de la superficie. Este valor se determina aplicando una imagen de prueba especial a la superficie.

Entonces, el proceso tecnológico de la fotolitografía se describe mediante alguna función de la forma

{\ estilo de visualización \ R = f (d, t).}

La construcción de un modelo del proceso tecnológico permite identificar el comportamiento de la respuesta del sistema en función del cambio de factores y con ello encontrar formas de optimizar la tecnología. Para este caso en particular, elija el espesor de la emulsión y el tiempo de exposición que le proporcionen la mejor calidad de imagen.

En el caso general, la respuesta del sistema está descrita por alguna función de variables $norte$

{\ estilo de visualización \ y = f (x_{1},x_{2},...,x_{n}).}

El modelo matemático del sistema se obtiene como resultado de la aproximación de esta función por alguna otra función, por ejemplo, una lineal.

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n))

donde están los parámetros deseados del modelo. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n))$

La figura muestra gráficamente el proceso de construcción de un modelo lineal del proceso de fotolitografía, donde es el espesor de la película de emulsión, es el tiempo de exposición, es la resolución obtenida en unas condiciones dadas. La función no es lineal, sin embargo, con suficiente proximidad al punto , puede ser reemplazada por un plano tangente . En el área que se muestra en la figura, el error máximo del modelo es . $x_{1}$ $x_{2}$ $y$ ${\ estilo de visualización y = f (x_ {1}, x_ {2})}$ $A_0$ ${\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))$ $\Delta y$

Conociendo los coeficientes del modelo , es posible predecir con cierta precisión el valor de la función (y por tanto el comportamiento del sistema) en la vecindad del punto . El propósito del experimento es determinar los valores de los coeficientes . ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$ $A_0$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$

Matriz de experimentos

Supongamos que los parámetros iniciales del proceso tecnológico son: espesor de película 55 micrones, tiempo de exposición - 30 s, es decir

\ x_{1C}=55;\quad x_{2C}=30.

Tomemos los valores superior e inferior de ambos factores para que se ubiquen simétricamente con respecto al valor actual, por ejemplo

{\ estilo de visualización \ x_ {1B} = 60; \ cuádruple x_ {2B} = 35;}

{\ estilo de visualización \ x_ {1H} = 50; \ quad x_ {2H} = 25;}

Hagamos una tabla en la que los valores de ambos factores estén en todas las combinaciones posibles y tomemos medidas en estos puntos (los valores de respuesta se dan condicionalmente):

{\begin{matriz}{|c|c||c|}\hlínea x_{1}&x_{2}&y\\\hlínea 50&25&140\\50&35&210\\60&25&170\\60&35&220\\\hlínea \end {formación}}

Suponiendo que el modelo lineal del proceso tiene la forma

{\ estilo de visualización \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

A partir de los resultados obtenidos se puede compilar un sistema de cuatro ecuaciones con dos variables. Este sistema se muestra a continuación, así como su notación abreviada en forma de matriz. Llamemos a una matriz de este tipo la matriz del experimento .

{\begin{casos}a_{0}+50a_{1}+25a_{2}=140\\a_{0}+50a_{1}+35a_{2}=210\\a_{0}+ 60a_{1}+25a_{2}=170\\a_{0}+60a_{1}+35a_{2}=220\end{casos));\left({\begin{matriz}{ccc|c} x_{0}&x_{1}&x_{2}&y\\\hline 1&50&25&140\\1&50&35&210\\1&60&25&170\\1&60&35&220\end{matriz}}\right).

En la matriz del experimento, la segunda y tercera columna son los valores de los factores, la cuarta columna son los valores de la respuesta del sistema y la primera columna contiene las unidades correspondientes a los coeficientes unitarios del término libre del modelo _ Consideraremos esta columna como un factor virtual , que siempre toma valores únicos. $un_{0}$ $x_{0}$

Solución del sistema

Para facilitar la solución del sistema, normalizamos los factores. A los valores superiores de los factores le asignamos el valor normalizado +1, a los valores inferiores el valor normalizado −1, al valor medio el valor normalizado 0. En general, la normalización del factor se expresa mediante la fórmula

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2(x_{i}-x_{iC})}{x_{iB}-x_{iH}}}={\frac {2x_ {i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}}.

Teniendo en cuenta la normalización de factores, el sistema de ecuaciones y la matriz del experimento tomarán la siguiente forma:

{\begin{casos}{\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=140\\{\ tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}+{\tilde {a}}_{2}=210\\{\tilde {a}}_{0}+{ \tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=170\\{\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}+ {\tilde {a))_{2}=220\end{casos));\left({\begin{array}{ccc|c}{\tilde {x))_{0}&{\tilde { x}}_{1}&{\tilde {x}}_{2}&y\\\hlínea +1&-1&-1&140\\+1&-1&+1&210\\+1&+1&-1&170\\+1& +1&+1&220\end{matriz}}\derecha).

Dado que la suma de los términos en la segunda y tercera columnas de la matriz es cero, la intersección del modelo se puede encontrar sumando las cuatro ecuaciones:

4\ {\tilde {a}}_{0}=140+210+170+220=740;

{\tilde {a}}_{0}=185.

Para encontrar cualquier otro coeficiente del modelo, debe cambiar los signos en las ecuaciones para que solo haya unos en la columna correspondiente y luego sumar las cuatro ecuaciones:

4\ {\tilde {a}}_{1}=-140-210+170+220=40;

{\tilde {a}}_{1}=10.

4\ {\tilde {a}}_{2}=-140+210-170+220=120;

{\tilde {a}}_{2}=30.

Así, el modelo lineal del proceso tecnológico en la vecindad del punto (55, 30) tiene la forma

{\displaystyle\y=185+10{\tilde {x}}_{1}+30{\tilde {x}}_{2}.}

En general, la solución del sistema se verá como

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum_{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}

Volver a factores no normalizados

La transición de factores normalizados a no normalizados se realiza mediante la transformación inversa

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{x}_{iC}={ \tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+x_{iH}}{2}}.

Para encontrar los parámetros del modelo para las coordenadas no normalizadas, sustituimos las expresiones de las coordenadas normalizadas en la ecuación del modelo:

\ y={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\tilde {x}}_{1}+{\tilde {a}}_{ 2}{\tilde {x}}_{2}=

\ ={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\frac {2(x_{1}-x_{1C})}{x_{1B} -x_{1H))}+{\tilde {a}}_{2}{\frac {2(x_{2}-x_{2C})}{x_{2B}-x_{2H}}}=

\={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {2x_{1C}}{x_{1B}-x_{1H}}}- {\ tilde {a}}_{2}{\frac {2x_{2C}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\tilde {a}}_{1}} {x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac{2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}}x_{2} =

\ ={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B}-x_{ 1H}}}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\ tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}- x_{2H}}}x_{2}.

Comparando la última expresión con la expresión del modelo lineal en coordenadas no normalizadas

{\ estilo de visualización \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

obtenemos expresiones para los parámetros del modelo:

\ a_{0}={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B }-x_{1H))}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}};

\a_{1}={\frac{2{\tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}};

\a_{2}={\frac{2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}};

En general

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum_{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

$a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}.$

Para el ejemplo anterior

\ a_{0}=185-10\cdot {\frac {60+50}{60-50}}-30\cdot {\frac {35+25}{35-25}}=-105;

{\displaystyle\a_{1}={\frac{2\cdot 10}{60-50}}=2;}

\ a_{2}={\frac {2\cdot 30}{35-25}}=6.

Finalmente, obtenemos el modelo en coordenadas naturales:

{\ estilo de visualización \ y=-105+2x_{1}+6x_{2))

Experimento factorial completo

Matriz PFE en forma general

En general, la matriz de un experimento factorial completo con n factores tiene la forma

\left({\begin{matriz}{cccc | c}{\tilde {x}}_{0}&{\tilde {x}}_{1}&...&{\tilde {x }}_{n}&y\\\hlínea +1&-1&...&-1&y_{1}\\+1&-1&...&+1&y_{2}\\...&...&. ..&...&...\\+1&+1&...&+1&y_{2^{n}}\end{matriz}}\right).

Propiedades de la matriz PFE

La matriz PFE tiene las siguientes propiedades:

El número de filas en la matriz es 2 n ;
La columna cero de la matriz consta de unos:

{\tilde {x}}_{0i}=1;

Las columnas 1… n contienen todas las posibles 2 n combinaciones de valores −1 y +1;
La última columna contiene los resultados de medición obtenidos con los valores de los factores registrados en las líneas correspondientes en las columnas 1… n .
La suma de los elementos de la columna cero siempre es igual a 2 n :

\sum_{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{0i}=2^{n};

La suma de los elementos de cualquier columna, excepto el cero y el último, es igual a cero:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=0\qquad (k=1...n);

Las dos últimas expresiones se pueden combinar en una sola relación:

\sum_{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=2^{n}\delta_{k0}\qquad (k=0.. .norte),

donde es la matriz identidad, ; $\delta _{{ij}}$ ${\ estilo de visualización (i, j = 0... n)}$

La suma de los cuadrados de los elementos de cualquier columna (excepto la última) siempre es igual a 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}^{2}=2^{n}\qquad (k=0...n );

La suma de los productos de los elementos correspondientes de dos columnas (excepto la última) es igual a cero:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=0\qquad (k,m= 0...n;k\neq m);

Las dos últimas expresiones se pueden escribir como la ortogonalidad de las columnas de la matriz:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=2^{n}\delta _ {km}\qquad(k,m=0...n);

Cálculo de los coeficientes de un modelo lineal

Los coeficientes del modelo lineal en coordenadas normalizadas se calculan mediante las fórmulas:

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum_{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}\qquad(k=0...n);

Los coeficientes del modelo lineal en coordenadas naturales (no normalizadas) se calculan mediante las fórmulas:

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum_{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}\qquad (k=1...n).

Conversión de factores naturales a normalizados y viceversa

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2x_{i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+ x_{iH}}{2}}.

Véase también

Planificación de experimentos

Fuentes

Construcción de modelos y pruebas de contorno de medios electrónicos: Método. instrucciones / Comp. A. N. Zhirabok, V. N. Lyakhov. - Vladivostok: Editorial de la Universidad Técnica Estatal del Lejano Oriente, 2006. - 32 p.

Adler Yu. P., Markova EV, Granovsky Yu. V. Planificación de experimentos en busca de condiciones óptimas. - M .: Nauka, 1976. - 279 p., il.

Montgomery D.K. Diseño experimental y análisis de datos: Per. De inglés. - L .: Construcción naval, 1980. - 384 p., il.