Semigrupo operador

Un semigrupo de operadores es una familia de un parámetro de operadores lineales acotados en un espacio de Banach . La teoría de los semigrupos de operadores surgió a mediados del siglo XX en los trabajos de matemáticos tan conocidos como Hille ( ing. Einar Hille ), Phillips ( ing. Ralph Saul Phillips ), Yosida , Feller . Las principales aplicaciones de esta teoría son: problemas abstractos de Cauchy, ecuaciones parabólicas , procesos estocásticos .

Definición

Sea un espacio de Banach . Un semigrupo de operadores en el espacio es una familia de operadores acotados , , que satisfacen las siguientes propiedades: $X$ $\{T_{t}\}_{t\geqslant0}$ $X$ $T_{t}:X\to X$ ${\ Displaystyle t \ geqslant 0}$

$T_{t}T_{s}=T_{t+s}$ , donde la multiplicación de operadores es la composición de estas asignaciones.
$T_{0}=yo$ , donde es el operador de identidad en el espacio . $yo$ $X$

De la definición de un semigrupo se deduce que para cualquier semigrupo existen constantes tales que: ${\ estilo de visualización M> 0, \ alfa \ en R}$

\|T_{t}\|\leqslant Me^{\alpha t}.

Generador de semigrupos

El concepto central en la teoría de semigrupos de operadores es el concepto de generador de un semigrupo. El generador de un semigrupo o el operador generador infinitesimal de un semigrupo es el operador ${\ Displaystyle T_ {t}}$

A:X\sustituir D(A)\to X

A\varphi =\lim \limits _{t\to 0}{\frac {T_{t}\varphi -\varphi }{t)),\ \varphi \in D(A),

donde el dominio se define como el conjunto de elementos tales que existe el límite dado. El generador de semigrupos es un operador lineal, generalmente hablando, ilimitado. Si el semigrupo es fuertemente continuo, entonces el dominio del generador es denso en , y el generador mismo es un operador cerrado. Por otro lado, no todo operador cerrado densamente definido es un generador de un semigrupo. El generador está determinado únicamente por el semigrupo; un generador define de forma única un semigrupo si es fuertemente continuo. $D(A)$ $X$

Tipos de semigrupos

Dependiendo de la suavidad con respecto al parámetro, se consideran varios tipos de semigrupos.

Un semigrupo se dice uniformemente continuo si se cumple la siguiente condición: ${\ Displaystyle T_ {t}}$

\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}-T_{s}\|=0

donde el límite se entiende en el sentido de topología de operadores .

Un semigrupo se denomina -semigrupo o semigrupo fuertemente continuo si se cumple la siguiente condición: ${\ Displaystyle T_ {t}}$ $C_{0}$

\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}\varphi -T_{s}\varphi \|_{X}=0

para cualquier elemento fijo . ${\ estilo de visualización \ varphi \ en X}$

Los semigrupos contratantes juegan un papel importante en las aplicaciones. Se dice que un semigrupo fuertemente continuo es contractivo si se cumple la siguiente condición:

\|T_{t}\|\leqslant 1

Un semigrupo fuertemente continuo se denomina semigrupo analítico si puede extenderse analíticamente a algún sector . ${\ Displaystyle T_ {t}}$

\Delta _{\delta }=\{\lambda \in C:|arg\lambda |<\delta ,Re\lambda >0\},\quad 0<\delta \leqslant \pi /2

de tal manera que es continua en . $T_{\lambda}$ ${\overline {\Delta}}_{\delta}$

Criterios para generadores de semigrupos

Un operador lineal en el espacio genera un semigrupo uniformemente continuo si y solo si es un operador acotado. Esto implica que en espacios de dimensión finita todos los semigrupos son uniformemente continuos. $A$ $X$ $A$

El criterio para un generador de un semigrupo fuertemente continuo es el siguiente teorema: Un operador lineal es un generador de un semigrupo fuertemente continuo si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: $A$

El operador está cerrado. $A$
El dominio de definición es denso en . $D(A)$ $X$
Hay tales que todos los números son resolutivos para el operador . $\lambda _{0}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ geqslant \ lambda _ {0))$ $A$
Existe una constante tal que para toda la desigualdad ${\ estilo de visualización c_ {1}> 0}$ ${\ estilo de visualización \ lambda > \ lambda _ {0}}$

\|(\lambda IA)^{-k}\|\leqslant {\frac {c_{1}}{(\lambda -\lambda _{0})^{k}}},\quad k =1,2,\puntos

Si en lugar de la condición 4) la condición

\|\lambda IA\|\leqslant {\frac {1}{\lambda -\lambda _{0))},

entonces el operador es también un generador de un semigrupo fuertemente continuo. El caso se conoce como el teorema de Hille-Yosida : un operador lineal es un generador de un semigrupo que se contrae si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: $A$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {0} = 0}$ $A$

El operador está cerrado. $A$
El dominio de definición es denso en . $D(A)$ $X$
Todos los números son resolutivos para el operador . ${\ estilo de visualización \ lambda \ geqslant 0}$ $A$
Para todo , se cumple la siguiente desigualdad: ${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$ $\|\lambda IA\|\leqslant {\frac {1}{\lambda )),$

Para que el generador de un semigrupo fuertemente continuo sea el generador de un semigrupo analítico, es necesario requerir condiciones significativamente mayores en el espectro del operador . $A$ $A$

Un operador es generador de un semigrupo analítico si y solo si hay números y , que el conjunto está libre del espectro del operador , y la desigualdad $A$ ${\ estilo de visualización \ pi / 2 < \ omega \ leqslant \ pi}$ ${\ estilo de visualización q \ geqslant 0}$ ${\displaystyle \Omega _{q,\omega }=\{\lambda \in C:Re\lambda >\omega ,|\lambda |>q\))$ $A$

\|(\lambda IA)^{-1}\|\leqslant {\frac {c_{2}}{|\lambda |}},\quad \lambda \in \Omega _{q,\omega },

donde la constante no depende de . ${\ estilo de visualización c_ {2}> 0}$ $\lambda$

Otro criterio equivalente para el generador de un semigrupo analítico es que el generador de un semigrupo fuertemente continuo es un generador de un semigrupo analítico si

\|tAT_{t}\varphi \|_{X}\leqslant C,\quad \varphi \in X,\ t>0,

donde es una constante independiente de . $C>0$ $t$

Notas

Literatura

Pazy A. Semigrupos de operadores lineales y aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales. Nueva York-Berlín-Heidelberg, Springer, 1983.
Kerin S. G. Ecuaciones diferenciales lineales en un espacio de Banach. — M.: Nauka, 1967.
Hille E., Phillips R. Análisis funcional y semigrupos. — M.: IL, 1962.
Kato T. Teoría de la perturbación de los operadores lineales. — M.: Mir, 1972.
Engel K.-J., Nagel R. Semigrupos de un parámetro para ecuaciones de evolución lineal. Springer-Verlag, Nueva York, 2000.
R. V. Shamin. Semigrupos de operadores. M.: RUDN, 2008. - 205 p.