Estadísticas de pedidos

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Las estadísticas ordinales en estadística matemática son una muestra ordenada no decreciente de variables aleatorias independientes igualmente distribuidas y sus elementos que ocupan un lugar estrictamente definido en la población en rango.

Definición

Sea una muestra finita de la distribución definida en algún espacio de probabilidad . Sea y . Renumeramos la secuencia en orden no decreciente, de modo que $X_{1},\ldots,X_{n}$ $\mathbb{P} ^{X}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\omega \en \Omega$ $x_{i}=X_{i}(\omega ),\;i=1,\ldots ,n$ ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n))$

{\displaystyle x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \cdots \leq x_{(n-1)}\leq x_{(n)))

Esta sucesión se llama serie de variación . La serie variacional y sus términos son estadísticas de orden. La variable aleatoria se denomina estadístico de orden -ésimo de la muestra original [1] . Las estadísticas de pedidos son la base de los métodos no paramétricos. ${\displaystyle X_{(k)}(\omega )=x_{(k)))$ $k$

Notas

Obviamente de la definición:

$X_{(1)}=\min(X_{1},\ldots,X_{n})$ ;
$X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots,X_{n})$ .

Estadísticas de orden de una distribución absolutamente continua

Sea una muestra independiente de una distribución absolutamente continua dada por una densidad de distribución y una función de distribución . Entonces las estadísticas de orden también tienen distribuciones absolutamente continuas, y sus densidades de distribución tienen la forma [2] : $X_{1},\ldots,X_{n}$ $f_{X}$ $F_{X}$

f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(nk)!(k-1)!}}[F_{X}(x)]^{k-1 }[1-F_{X}(x)]^{nk}f_{X}(x)

Vector aleatorio , donde también tiene una distribución absolutamente continua, y la densidad de distribución conjunta tiene la forma: $\left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top }$ ${\ estilo de visualización 1 \ leq j<k \ leq n}$

f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_{j},x_{k})=\left\{{\begin{matriz}{\frac {n!}{( j-1)!(kj-1)!(nk)!}}[F_{X}(x_{j})]^{j-1}[F_{X}(x_{k})-F_{X }(x_{j})]^{kj-1}[1-F_{X}(x_{k})]^{nk}f_{X}(x_{j})f_{X}(x_{k }),&x_{j}\leq x_{k}\\0,&x_{j}>x_{k}\end{matriz}}\right.

Ejemplo

Sea una muestra de la distribución uniforme continua estándar . Después $U_{1},\ldots,U_{n}\sim \mathrm {U} [0,1]$

$f_{U_{(k)}}(u)={\frac {n!}{(nk)!(k-1)!}}u^{k-1}[1-u]^{ nk},\quad u\in [0,1]$ ,

es decir , dónde está la distribución beta ; $U_{(k)}\sim \mathrm {B} (k,n-k+1)$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {B}}$

$f_{U_{(j)},U_{(k)))(u_{j},u_{k})={\frac {n!}{(j-1)!(kj-1) !(nk)!}}u_{j}^{j-1}[u_{k}-u_{j}]^{kj-1}[1-u_{k}]^{nk},\quad j <k,\quad 0\leq u_{j}\leq u_{k}\leq 1$ ;
$f_{U_{(1)},\ldots,U_{(n)}}(u_{1},\ldots,u_{n})=n!,\quad 0\leq u_{1}\ leq \cdots \leq u_{n}\leq 1$ .

Véase también

Notas

↑ Diccionario enciclopédico matemático . - M. : "Búhos. enciclopedia” , 1988.- S. 847 .
↑ Prueba archivada el 27 de febrero de 2012 en Wayback Machine , p. 12, H. 1.18