Distribución beta

Distribución beta
Densidad de probabilidad
función de distribución
Designacion	${\text{Beta}}(\alfa,\beta)$
Opciones	$\alfa >0$ $\beta>0$
Transportador	${\ estilo de visualización x \ en [0,1]}$
Densidad de probabilidad	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))$
función de distribución	$I_{x}(\alfa,\beta)$
Valor esperado	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$
Moda	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))$ por $\alfa >1, \beta >1$
Dispersión	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$
Coeficiente de asimetría	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))$
Coeficiente de curtosis	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alfa \beta (\alfa +\beta +2)(\alfa +\beta +3)))$
Función generadora de momentos	$1+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\prod_{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\right){\frac{t^{k}}{k!)}}$
función característica	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$

La distribución beta en teoría de probabilidad y estadística es una familia de dos parámetros de distribuciones absolutamente continuas . Se utiliza para describir variables aleatorias cuyos valores están limitados a un intervalo finito.

Definición

f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1 }

dónde

$\alfa,\beta >0$ parámetros fijos arbitrarios, y
$\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx$ es la función beta .

Entonces la variable aleatoria tiene una distribución beta. Escribe: . $X$ $X\!\sim \mathrm {B} (\alfa,\beta)$

La forma del gráfico de densidad de probabilidad de distribución beta depende de la elección de los parámetros y . $\alfa$ $\beta$

$\alfa<1,\ \beta<1$ — el gráfico es convexo y tiende al infinito en los límites (curva roja);
$\alfa <1,\ \beta \geq 1$ o - el gráfico es estrictamente decreciente (curva azul) $\alfa =1,\ \beta >1$
- $\alfa =1,\ \beta >2$ - el gráfico es estrictamente convexo;
- $\alfa =1,\ \beta =2$ — el gráfico es una línea recta;
- $\alfa =1,\ 1<\beta <2$ - el gráfico es estrictamente cóncavo ;
$\alfa =1,\ \beta =1$ el gráfico coincide con el gráfico de densidad de la distribución uniforme continua estándar ;
$\alfa =1,\ \beta<1$ o — gráfica estrictamente creciente (curva verde); $\alpha >1,\ \beta \leq 1$
- $\alfa >2,\ \beta =1$ - el gráfico es estrictamente convexo;
- $\alfa =2,\ \beta =1$ — el gráfico es una línea recta;
- $1<\alfa <2,\ \beta =1$ — el gráfico es estrictamente cóncavo;
$\alfa >1,\ \beta >1$ — gráfico unimodal (curvas magenta y negras)

En el caso cuando , la densidad de probabilidad es simétrica con respecto a (curvas roja y magenta), es decir $\alfa=\beta$ $1/2$

f_{X}(1/2-x)=f_{X}(1/2+x),\;x\en [0,1/2]

La esperanza matemática y la varianza de una variable aleatoria con distribución beta son: $X$

\mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta ))

\mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))

La distribución beta es una distribución de Pearson de tipo I [1] .
La distribución uniforme continua estándar es un caso especial de la distribución beta: $\mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)$ .
La distribución beta se usa ampliamente en las estadísticas bayesianas , ya que es el conjugado previo de las distribuciones de Bernoulli , binomial y geométrica .
Si son variables aleatorias independientes con distribución gamma , y , y , entonces $X,Y$ $X\sim \mathrm {\Gamma} (\alpha,1)$ $Y\sim \mathrm {\Gamma} (\beta,1)$ ${\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alfa,\beta)$ .

Korolyuk vs. , Portenko N. I. , Skorokhod A.V. , Turbina A.F. Manual de Teoría de la Probabilidad y Estadística Matemática. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula