Orden de elementos

El orden de un elemento en la teoría de grupos es el entero positivo más pequeño tal que la multiplicación de un grupo de veces de un elemento dado por sí mismo da un elemento neutral : $metro$ $metro$ $g\in g$

\underbrace {gg\puntos g}_{{m}}=g^{m}=e

En otras palabras, es el número de elementos diferentes del subgrupo cíclico generado por este elemento. Si no existe tal cosa (o, de manera equivalente, el número de elementos de un subgrupo cíclico es infinito), entonces se dice que tiene un orden infinito. Indicado como o . $metro$ $metro$ $gramo$ ${\mathrm {palabra}}(g)$ $|g|$

Estudiar los órdenes de los elementos de un grupo puede dar información sobre su estructura. Varias preguntas profundas sobre la relación entre el orden de los elementos y el orden de los grupos están contenidas en varios problemas de Burnside , algunos de los cuales permanecen abiertos.

Propiedades básicas

El orden de un elemento es uno si y solo si el elemento es neutral .

Si todo elemento no neutro en coincide con su inverso (es decir, ) , entonces es abeliano , ya que . Lo contrario no es cierto en general: por ejemplo, el grupo cíclico (aditivo) de números enteros módulo 6 es abeliano, pero el número 2 tiene orden 3: $GRAMO$ $g^{2}=e$ ${\mathrm {palabra}}(a)=2$ $GRAMO$ $ab=(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}=ba$ $\mathbb{Z } _{6}$

2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}

Para cualquier número entero , la identidad se cumple si y sólo si se divide . $k$ $g^{k}=e$ ${\mathrm {palabra}}(g)$ $k$

Todas las potencias de un elemento de orden infinito también tienen orden infinito. Si tiene un orden finito, entonces el orden es igual al orden dividido por el máximo común divisor de los números y . El orden del elemento inverso es el mismo que el del propio elemento ( ). $gramo$ $g^{k}$ $gramo$ ${\mathrm {palabra}}(g)$ $k$ ${\mathrm {ord}}(g)={\mathrm {ord}}(g^{{-1}})$

Relación con el orden de grupo

El orden de cualquier elemento del grupo divide el orden del grupo . Por ejemplo, en un grupo simétrico de seis elementos, el elemento neutro tiene (por definición) orden 1, los tres elementos que son raíces de orden 2, y el orden 3 tiene los dos elementos restantes que son raíces de elementos de orden 2: que es decir, todos los elementos de orden son divisores del orden del grupo. $S_{3}$ $mi$ $mi$

Un recíproco parcial es cierto para grupos finitos ( teorema de Cauchy de la teoría de grupos ): si un número primo divide el orden del grupo , entonces existe un elemento para el cual . La afirmación no se cumple para órdenes compuestos , por lo que el grupo de cuatro de Klein no contiene un elemento de orden cuatro. $pags$ $GRAMO$ $g\in g$ ${\mathrm {ord}}(g)=p$

Orden de producción

En cualquier grupo . ${\mathrm {ord}}(ab)={\mathrm {ord}}(ba)$

No existe una fórmula general que relacione el orden del producto con los órdenes de los factores y . Es posible que y , y tengan orden finito, mientras que el orden del producto es infinito, también es posible que y , y tengan orden infinito, siendo finito. Un ejemplo del primer caso está en el grupo simétrico sobre permutaciones de enteros dadas por las fórmulas , entonces . Un ejemplo del segundo caso son las permutaciones de un mismo grupo cuyo producto es un elemento neutro (una permutación que deja los elementos en su lugar). Si entonces se puede argumentar que divide el mínimo común múltiplo de los números y . Una consecuencia de este hecho es que en un grupo abeliano finito el orden de cualquier elemento divide el orden máximo de los elementos del grupo. $abdominales$ $a$ $b$ $a$ $b$ $abdominales$ $a$ $b$ ${\mathrm {ord}}(ab)$ $a(x)=2-x,b(x)=1-x$ $ab(x)=x-1$ $a(x)=x+1,b(x)=x-1$ $ab(x)={\mathrm {id}}$ $ab=ba$ ${\mathrm {ord}}(ab)$ ${\mathrm {palabra}}(a)$ ${\mathrm {palabra}}(b)$

Contando por orden de elementos

Para un grupo finito dado de orden , el número de elementos con orden ( es un divisor ) es un múltiplo de , donde es la función de Euler , dando el número de números positivos no excediendo y relativamente primos a él. Por ejemplo, en el caso de , y hay exactamente dos elementos de orden 3; sin embargo, esta declaración no proporciona ninguna información útil sobre elementos de orden 2, ya que , e información muy limitada sobre números compuestos, como , ya que y hay cero elementos de orden 6 en el grupo. $GRAMO$ $norte$ $d$ $d$ $norte$ $\varfi (d)$ $\varphi$ $d$ $S_{3}$ $\varfi(3)=2$ $\varfi(2)=1$ $re=6$ $\varfi(6)=2$ $S_{3}$

Conexión con homomorfismos

Los homomorfismos de grupo tienden a disminuir el orden de los elementos. Si es un homomorfismo y es un elemento de orden finito, entonces divide a . Si es inyectivo , entonces . Este hecho se puede utilizar para demostrar la ausencia de un homomorfismo (inyectivo) entre dos grupos dados. (Por ejemplo, no hay homomorfismo no trivial , ya que cualquier número excepto cero tiene orden 5, y 5 no divide ninguno de los órdenes de elementos 1, 2 y 3 ). Otro corolario es que los elementos conjugados tienen el mismo orden . $f:G\a H$ $g\in g$ ${\mathrm {ord}}(f(g))$ ${\mathrm {palabra}}(g)$ $F$ ${\mathrm {ord}}(f(g))={\mathrm {ord}}(g)$ $h:S_{3}\to \mathbb{Z} _{5}$ $\mathbb{Z } _{5}$ $S_{3}$

Literatura

Kurosh A.G. Teoría de grupos. - Moscú: Nauka, 1967. - ISBN 5-8114-0616-9 .
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Capitulo dos. Grupos // Álgebra General / Bajo el general. edición L. A. Skornyakova . - M. : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 pág. — (Biblioteca matemática de referencia). — 30.000 copias. — ISBN 5-02-014426-6 .