Grupo Cuádruple Klein

El grupo cuádruple de Klein es un grupo conmutativo finito no cíclico de cuarto orden que juega un papel importante en álgebra general, combinatoria y geometría. Por lo general, se denota o (de él. Vierergruppe - grupo cuádruple). Descrito y estudiado por primera vez por Felix Klein en 1884 . $V$ $V_{4}$

Gráfico de ciclo del grupo cuádruple de Klein
El gráfico de Cayley del grupo cuádruple de Klein

Una operación binaria entre elementos (una unidad es un elemento neutral de un grupo) viene dada por la siguiente tabla de Cayley [1] : ${\displaystyle \{1,a,b,ab\))$

{\begin{matriz}{c||rrrr|}\cdot &1&a&b&ab\\\hline 1&1&a&b&ab\\a&a&1&ab&b\\b&b&ab&1&a\\ab&ab&b&a&1\\\end{matriz))

El orden de cada elemento que no es uno es 2, por lo que el grupo no es cíclico . Es un producto directo de grupos cíclicos de segundo orden ; el grupo no cíclico más pequeño en orden. $C_{2}\veces C_{2}$

Es el grupo diédrico más simple [2] . Cualquier grupo de cuarto orden es isomorfo a un grupo cíclico o a un grupo de Klein cuádruple. El grupo simétrico tiene, además de sí mismo y del subgrupo unitario , solo dos subgrupos normales : el grupo alterno y el grupo de cuatro de Klein , que consta de permutaciones [2] . $D_{2}$ $S_{4}$ $A_{4}$ $V_{4}$ ${\ estilo de visualización (), (12) (34), (13) (24), (14) (23)}$

Ocurre en muchas secciones de las matemáticas, ejemplos de grupos isomorfos a él:

establecido con operación OR exclusiva bit a bit ; ${\ estilo de visualización \ {0,1,2,3\}}$
sistema reducido de residuos módulo 8, compuesto por las clases 1, 3, 5, 7 y módulo 12, formado por las clases 1, 5, 7, 11;
grupo de simetría de un rombo en el espacio tridimensional, que consta de 4 transformaciones: identidad, rotación sobre y dos reflexiones sobre diagonales [3] . $180^{\círculo}$
el grupo de rotaciones del tetraedro a través de un ángulo alrededor de las tres medianas de los bordes (junto con la rotación idéntica) [4] . $\Pi$

Notas

↑ Aleksandrov, 1980 , cap. 1 "El concepto de grupo", ítem 2 "Ejemplos introductorios", ítem 4 "Grupo de Klein de cuarto orden", p. 23
↑ 1 2 V. F. Zaitsev. Pág. 2, Grupos de transformación discretos // Introducción al análisis de grupos moderno. - San Petersburgo. , 1996. - S. 10.
↑ Aleksandrov, 1980 , cap. 5 "Los grupos de autocoincidencia más simples", p. 3 "Grupos de giros de una pirámide regular y de una doble pirámide", p. 3 "El caso de degeneración: grupos de rotaciones de un segmento y un rombo", p. 71.
↑ Aleksandrov, 1980 , cap. 5 “Grupos de autocoincidencia simple”, ítem 3 “Grupos de giro de pirámide regular y doble pirámide”, ítem 4 “Grupo de rotación de tetraedro regular”, pág. 75.

Literatura

P. S. Alexandrov . Introducción a la teoría de grupos. - M. : Nauka, 1980. - 144 p. Con. — (Biblioteca Kvant, número 7).
F.Klein . Clases magistrales sobre el icosaedro y resolución de ecuaciones de quinto grado. — M .: Nauka , 1989. — 336 p.