El último teorema de Poincaré

El último teorema de Poincaré  es un enunciado sobre la presencia de al menos dos puntos fijos para cualquier transformación de un anillo plano que haga girar los círculos límite en direcciones opuestas y al mismo tiempo preserve el área . El teorema juega un papel importante en la teoría de los sistemas dinámicos .

Este teorema fue formulado por Henri Poincaré [1] ; envió un artículo con una declaración a la revista dos semanas antes de su muerte. La prueba la dio George Birkhoff [2] seis meses después; su prueba contenía una inexactitud que fue corregida por Brown y Newman [3] .

Redacción

Sea  un anillo plano delimitado por círculos concéntricos con radios y . Sea también (en coordenadas polares) un mapeo de este anillo en sí mismo:

,

satisfaciendo las siguientes condiciones:

  1. el mapeo preserva el área y es homotópico a la identidad;
  2. cada círculo límite entra en sí mismo: , ;
  3. los puntos c se mueven en sentido contrario a las agujas del reloj y los puntos c  se mueven en el sentido de las agujas del reloj. Más precisamente, la función es continua y y para cualquier .

Entonces este mapeo tiene dos puntos fijos.

Variaciones y generalizaciones

Notas

  1. ↑ Poincaré H., "Rend. círculo estera. Palermo, 1912, v. 33, pág. 375-407
  2. ↑ Birkhoff G., "Trad. amer Matemáticas. Soc.", 1913, v. 14, p. 14-22
  3. ↑ M. Brown, W. D. Neumann. Demostración del teorema del punto fijo de Poincaré-Birkhoff. Archivado desde el original el 3 de marzo de 2016. // Matemáticas de Michigan. J. 24 (1977) 21-31. (Inglés)

Literatura

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