Secuencia de Lucas

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En matemáticas , las secuencias de Lucas son una familia de pares de secuencias recurrentes lineales de segundo orden , consideradas por primera vez por Edouard Luca .

Las sucesiones de Lucas son pares de sucesiones y , que satisfacen la misma relación de recurrencia con coeficientes P y Q : ${\ estilo de visualización \ {U_ {n} (P, Q) \}}$ ${\ estilo de visualización \ {V_ {n} (P, Q) \}}$

U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+ 1 }(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geq 0

V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+ 1 }(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geq 0

Ejemplos

Algunas secuencias de Luke tienen sus propios nombres:

${\ estilo de visualización \ {U_ {n} (1,-1) \}}$ - Números de Fibonacci
${\ estilo de visualización \ {V_ {n} (1,-1) \}}$ — Números de Lucas
${\ estilo de visualización \ {U_ {n} (2,-1) \}}$ — Números de Pell
${\ estilo de visualización \ {V_ {n} (2,-1) \}}$ - Números de Pell-Luc
${\ estilo de visualización \ {U_ {n} (3,2) \}}$ - Números de Mersenne
${\ estilo de visualización \ {V_ {2^ {n}} (3,2) \}}$ — Números de Fermat
${\ estilo de visualización \ {U_ {n} (1,-2) \}}$ son los numeros de jacobstahl
${\ estilo de visualización \ {U_ {n} (2x, 1) \}}$ — Polinomios de Chebyshev de segunda clase
${\ estilo de visualización \ {V_ {n} (2x, 1) \}}$ — Polinomios de Chebyshev del primer tipo multiplicados por 2

Fórmulas explícitas

El polinomio característico de las sucesiones de Lucas es : ${\ estilo de visualización \ {U_ {n} (P, Q) \}}$ ${\ estilo de visualización \ {V_ {n} (P, Q) \}}$

x^{2}-P\cdot x+Q.

Se supone que su discriminante es distinto de cero. Raíces del polinomio característico $D=P^{2}-4Q$

\alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}

\beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}

se puede utilizar para obtener fórmulas explícitas:

U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n)){\alpha -\beta ))={\frac {\alpha ^{n} -\beta ^{n}}{\raíz cuadrada {D}}}

V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.

Las fórmulas de Vieta también se pueden expresar en la forma: $PAGS$ $q$

P=\alfa +\beta,

Q=\alpha \cdot \beta .

Caso degenerado

El discriminante desaparece para algún número . En este caso, y respectivamente: $D$ $P=2S,Q=S^{2}$ $S$ ${\ estilo de visualización \ alfa = \ beta = S}$

U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1},

V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.

Propiedades

{\displaystyle DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n))

{\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n))

U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_ {n}}{2}}

{\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{nm))

U_{2n}=U_{n}V_{n}={\frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P }}

V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}

U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}

Enlaces

V. P. Palamodov. Sobre polinomios que forman una sucesión recurrente de segundo orden // Educación matemática . Segunda serie. - 1957. - Emisión. 1 . — Art. 139-147 .
Grant Arakelyan . Matemáticas e Historia de la Proporción Áurea . — M.: Logotipos, 2014, 404 p. - ISBN 978-5-98704-663-0.