Constante de integración

En cálculo , la integral indefinida de una función dada (es decir, el conjunto de todas las antiderivadas de la función) en el dominio asociado solo se define hasta una constante aditiva de integración. Esta constante expresa la ambigüedad inherente a la toma de antiderivadas. está definido en el intervalo y es una antiderivada , entonces el conjunto de todas las antiderivadas de está dado por las funciones , donde C es una constante arbitraria (esto significa que cualquier valor para C hace que la antiderivada sea real). Por simplicidad, a veces se omite la constante de integración en las listas de integrales. ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización f (x)))$ ${\ estilo de visualización F (x)))$ ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización f (x)))$ ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización f (x)))$ ${\ estilo de visualización F (x) + C}$

Origen

La derivada de cualquier función constante es igual a cero. Si se encuentra una antiderivada para una función , entonces sumar o restar cualquier constante C nos dará una antiderivada más, ya que . Una constante es una forma de expresar que toda función con al menos una antiderivada tiene un número infinito de ellas. ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización f (x)))$ ${\ estilo de visualización F (x)}$ $(F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)$

Sean , y dos funciones universalmente diferenciables. Supongamos que para todo número real x. Entonces existe un número real C tal que para todo número real x. Para probar esto, tenga en cuenta que . Así, F puede ser reemplazada por FG y G por una función constante 0 para demostrar que en todas partes una función diferenciable cuya derivada siempre es igual a cero debe ser constante: . Para cualquier x, el teorema fundamental del Cálculo, junto con la suposición de que la derivada de F se anula, significa que ${\displaystyle {\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ))$ $G:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }$ $F\,'(x)=G\,'(x)$ $F(x)-G(x)=C$ $[F(x)-G(x)]'=0$ $C=F(a)$

${\displaystyle {\begin{alineado}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\ dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F( x)-C\\&F(x)=C\\\end{alineado}}}$

por tanto, F es una función constante.

Dos hechos son decisivos en esta prueba. Primero, la línea real está conectada. Si la línea real no estuviera conectada, es posible que no siempre podamos integrar desde nuestra a fija a cualquier x dada. Por ejemplo, si tomáramos las funciones definidas para combinar los intervalos [0,1] y [2,3], y si a fuera 0, entonces sería imposible integrar de 0 a 3 porque la función no está definida entre 1 y 2 Habrá dos constantes aquí, una para cada componente de dominio conectado. En el caso general, reemplazando constantes por funciones localmente constantes, podemos extender este teorema a dominios desconectados. Por ejemplo, hay dos constantes de integración para e infinitamente muchas para , por ejemplo, la forma general para la integral 1/x es: ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ int dx/x}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ int \ bronceado x \, dx,}$

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right| +C^{+}&x>0\end{casos}}$

En segundo lugar, se supuso que F y G son diferenciables en todas partes. Si F y G no son diferenciables al menos en un punto, entonces el teorema falla. Como ejemplo, seamos la función de Heaviside, que es cero para valores de x negativos y uno para valores de x no negativos, y luego dejemos que la derivada de F sea cero donde esté definida, y la derivada de G siempre sea cero. Sin embargo, está claro que F y G no difieren en un valor constante. Incluso si asumimos que F y G son continuos en todas partes y derivables en casi todas partes, el teorema sigue fallando. Como ejemplo, tome F como la función de Cantor y de nuevo sea G = 0. ${\ estilo de visualización F (x)}$ ${\ estilo de visualización G (x) = 0.}$

Por ejemplo, supongamos que uno quiere encontrar antiderivadas . Una de esas primitivas es esta . Otro - Tercero - . Cada uno de ellos tiene una derivada , por lo que todos son antiderivadas de Resulta que sumar y restar constantes es la única flexibilidad que tenemos para encontrar diferentes antiderivadas de la misma función. Es decir, todas las antiderivadas son iguales hasta una constante. Para expresar este hecho para cos(x), escribimos: ${\ estilo de visualización \ cos (x)}$ ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización \ sin (x)))$ ${\ estilo de visualización \ pecado (x) + 1.}$ ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización \ pecado (x) - \ pi))$ ${\ estilo de visualización \ cos (x)}$ ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización \ cos (x)} \ }$ ${\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\sin(x)+C.}$

Reemplazar C con un número producirá una antiderivada. Sin embargo, escribir C en lugar de un número da una descripción compacta de todas las posibles antiderivadas cos(x). C se llama la constante de integración. Es fácil determinar que todas estas funciones son de hecho derivadas de ${\ estilo de visualización \ cos (x):}$

${\begin{alineado}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\ fracción {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{alineado}}$

Necesidad

A primera vista, puede parecer que la constante no es necesaria, ya que se puede restablecer a cero. Además, al evaluar integrales definidas usando el teorema fundamental del cálculo, la constante siempre se cancelará. Sin embargo, tratar de establecer una constante en cero no siempre tiene sentido. Por ejemplo, se puede integrar al menos de tres maneras diferentes: $2\sin(x)\cos(x)$

${\begin{alineado}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x) +1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2 }(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x )\cos(x)\,dx&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2 }(x)+C\end{alineado}}$

Entonces, poner a cero C aún puede dejar una constante. Esto significa que no existe una "antiderivada simple" para esta función.

Otro problema de poner C a cero es que a veces queremos encontrar antiderivadas que tengan un valor dado en un punto dado (como en el problema del valor inicial). Por ejemplo, para obtener una antiderivada que tenga un valor de 100 cuando x = π, solo funcionará un valor de C (en este caso, C = 100). ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización \ cos (x)))$

Esta restricción se puede reformular en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Encontrar la integral indefinida de una función es lo mismo que resolver una ecuación diferencial Cualquier ecuación diferencial tendrá muchas soluciones, y cada constante es la única solución a un problema de valor inicial bien planteado. Imponer la condición de que nuestra antiderivada tome el valor 100 en x = π es la condición inicial. Cada condición inicial corresponde a uno y solo un valor de C, por lo que sin C sería imposible resolver el problema. ${\ estilo de visualización f (x)}$ ${\frac {dy}{dx}}=f(x).$

Hay otra justificación, basada en el álgebra abstracta. El espacio de todas las funciones reales (adecuadas) sobre los números reales es un espacio vectorial, y un operador diferencial es un operador lineal. El operador muestra una función igual a cero si y solo si esta función es constante. Por lo tanto, el núcleo es el espacio de todas las funciones constantes. El proceso de integración indefinida se reduce a encontrar el prototipo de una función dada. No existe una preimagen canónica para una función determinada, pero el conjunto de todas esas preimágenes forma una clase lateral. Elegir una constante es similar a elegir un elemento de una clase lateral. En este contexto, la solución al problema de valor inicial se interpreta como situada en el hiperplano dado por las condiciones iniciales. ${\frac{d}{dx))$ ${\frac{d}{dx))$ ${\frac{d}{dx))$

Significado físico

Veamos algunos ejemplos.

El cuerpo cae desde el quinto piso de la casa al suelo, volando a cierta distancia. Luego el mismo cuerpo cae del noveno piso al balcón del quinto y vuela la misma distancia, a pesar de la diferencia en la posición inicial. Despreciamos el cambio de gravedad a la altura de la casa. En este ejemplo, la constante de integración especifica la posición inicial del cuerpo (número de piso).

Un automóvil viaja a lo largo de una carretera recta a cierta velocidad variable. Si, al comienzo del movimiento, el automóvil se traslada a otro lugar de la ruta, recorrerá el mismo camino.

Un caballo tira de un trineo a través de un campo llano. No importa dónde esté el caballo en el campo, hará el mismo trabajo de arrastrar el trineo (la distancia recorrida por el caballo debe ser la misma).

El agua sale de un recipiente cilíndrico a través de un agujero en el fondo. El nivel en el recipiente baja 10 cm Independientemente del nivel al que se llenó inicialmente el recipiente, el mismo volumen de agua que ha transcurrido baja el nivel 10 cm.

El voltaje a través del capacitor cambia de 1 voltio a 0 voltios. Luego, el voltaje en el mismo capacitor cambia de 1000 voltios a 999 voltios. En ambos casos, la carga que pasa por el capacitor es la misma.

El cuerpo se enfría de 1°C a 0°C. El mismo cuerpo se enfría de 1000°C a 999°C. Si ignoramos la dependencia de la capacidad calorífica de la temperatura, entonces el cuerpo en ambos casos pierde la misma cantidad de calor.

Literatura

Stewart, James (2008). Cálculo: primeros trascendentales (6ª ed.). Brooks/Cole. ISBN0-495-01166-5.
Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (9ª ed.). Brooks/Cole. ISBN0-547-16702-4.
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Bandera, Adrián (2007). El salvavidas de cálculo: todas las herramientas que necesita para sobresalir en cálculo . Princeton [ua]: Prensa de la Universidad de Princeton. pags. 380. ISBN978-0-691-1308