Flujo (intuicionismo)

El flujo es uno de los conceptos básicos de las matemáticas intuicionistas .

Definición

El flujo se define como un conjunto de dos leyes y , denominadas ley del flujo y ley complementaria , respectivamente. La ley de flujo divide las tuplas de números naturales en válidas e inválidas y debe tener las siguientes propiedades: $METRO$ ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {M}}$ ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {M}}$ ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {M}}$

Una tupla vacía es válida. $\ ángulo \ ángulo$
Para cualquier tupla válida, hay al menos un número natural para el cual la tupla también es válida. $\langle a_{1},\ldots,a_{n}\rangle$ $k$ $\langle a_{1},\ldots,a_{n},k\rangle$
Para cualquier tupla válida de la forma, la tupla también es válida. $\langle a_{1},\ldots,a_{n},k\rangle$ $\langle a_{1},\ldots,a_{n}\rangle$

Una ley adicional asocia objetos matemáticos arbitrarios con tuplas admisibles. ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {M}}$

Las sucesiones que se convierten libremente en números naturales para las que, para cualquier tupla , es admisible según la ley de flujo , se denominan sucesiones que se convierten libremente admisibles . Las sucesiones correspondientes a ellos (donde está la ley de flujo adicional ) se denominan elementos del flujo . ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{\infty ))$ $norte$ $\langle a_{1},\ldots,a_{n}\rangle$ $METRO$ ${\displaystyle \{\Gamma _{M}(a_{k})\}_{k=1}^{\infty ))$ ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {M}}$ $METRO$ $METRO$

Figurativamente, un flujo se puede representar como un árbol, de cada vértice del cual hay al menos una rama, y en cada vértice del cual se “cuelga” uno u otro objeto matemático. Las secuencias de números naturales admisibles que se convierten libremente se pueden representar como caminos infinitos en tal árbol.

Aplicaciones en matemáticas intuicionistas

Muchos constructos del análisis intuicionista se basan en el concepto de flujo. Por lo tanto, el continuo a menudo se considera en matemáticas intuicionistas como la siguiente corriente de segmentos racionales: $[0,1]$

las tuplas se consideran admisibles de acuerdo con la ley de flujo, todos los elementos de los cuales son iguales o ; $una$ $2$
si una tupla admisible está asociada con un segmento por una ley adicional , entonces un segmento está asociado con una tupla y un segmento con una tupla . $\langle a_{1},\ldots,a_{n}\rangle$ $[a,b]$ $\langle a_{1},\ldots,a_{n},1\rangle$ ${\ estilo de visualización [a, (a + b)/2]}$ $\langle a_{1},\ldots,a_{n},2\rangle$ ${\ estilo de visualización [(a+b)/2,b]}$

Los elementos de este flujo se consideran números reales que se encuentran en el intervalo . $[0,1]$

Condiciones de bloqueo e inducción de barras

Sea alguna condición impuesta a las tuplas admisibles. Tal condición se denomina bloqueo del flujo si para cualquier secuencia que se vuelve libremente admisible de acuerdo con la ley del flujo, hay un número para el cual la tupla satisface la condición . En matemáticas intuicionistas, se considera aceptable la siguiente forma de razonamiento: ${\mathcal {K}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty))$ $norte$ $\langle a_{1},\ldots,a_{n}\rangle$ ${\mathcal {K}}$

Deje que la condición bloquee el flujo y deje que la condición impuesta a las tuplas permitidas del flujo tenga las siguientes propiedades: ${\mathcal {K}}$ $METRO$ ${\mathcal {T}}$ $METRO$

Cualquier tupla válida que satisfaga la condición satisface la condición . ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {T}}$
Si todas las tuplas válidas de la forma satisfacen la condición , entonces la tupla válida también satisface la condición . $\langle a_{1},\ldots,a_{n},k\rangle$ ${\mathcal {T}}$ $\langle a_{1},\ldots,a_{n}\rangle$ ${\mathcal {T}}$

En este caso, la tupla vacía cumple la condición . ${\mathcal {T}}$

Esta forma de razonamiento se llama inducción de barras .

Uno de los ejemplos característicos de la aplicación de la inducción de barras es el teorema del ventilador de L. E. Ya. Brouwer :

Si la corriente es finita (es decir, sólo emerge un número finito de ramas de cada uno de sus vértices) y la condición bloquea la corriente , entonces hay un número natural , tal que para cualquier secuencia admisible que se convierta libremente hay una tupla que satisface la condición con la propiedad . $METRO$ ${\mathcal {K}}$ $METRO$ $norte$ ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{\infty ))$ ${\mathcal {K}}$ $\langle a_{1},\ldots,a_{n}\rangle$ ${\ estilo de visualización n<N}$

En las matemáticas de la teoría de conjuntos , un enunciado similar se conoce con el nombre de " lema del camino infinito de König ".