Intuicionismo
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 1 de noviembre de 2021; las comprobaciones requieren 3 ediciones .El intuicionismo es un conjunto de puntos de vista filosóficos y matemáticos que consideran los juicios matemáticos desde el punto de vista de la "persuasión intuitiva". Hay dos interpretaciones del intuicionismo: la persuasión intuitiva, que no está relacionada con la cuestión de la existencia de objetos, y la persuasión mental visual.
En las matemáticas intuicionistas, se rechaza el enfoque de la teoría clásica de conjuntos (en particular, no se aceptan el axioma de elección y el axioma de regularidad ) y una serie de razonamientos de la lógica clásica. La abstracción de la viabilidad potencial , que se utiliza en las matemáticas intuicionistas, corresponde mejor a la realidad que la abstracción del infinito actual .
Reseña histórica
Las críticas a la teoría de conjuntos llevaron al surgimiento de dos corrientes: el intuicionismo de Leutzen Egbert Jan Brouwer , el formalismo de David Hilbert y el logicismo de Gottlob Frege , Bertrand Russell , Alfred North Whitehead . En 1904, Brouwer sometió a una extensa crítica una serie de conceptos de las matemáticas clásicas. Su atención se centró en el estado de la existencia: ¿es posible construir potencialmente tales objetos de estudio como un conjunto inconmensurable de números reales , una función diferenciable en ninguna parte? ¿Es posible creer que en el mundo circundante existen infinitos conjuntos de objetos [1] ?
La matemática intuicionista en la interpretación de Brouwer es la persuasión de las construcciones mentales, no conectadas con la cuestión de la existencia de objetos. Otra interpretación es "la capacidad de persuasión mental visual de los procesos constructivos más simples de la realidad". Brouwer se opuso a la formalización del intuicionismo [1] .
Arend Heyting formuló el cálculo de predicados intuicionista y el cálculo aritmético intuicionista, la interpretación topológica fue descubierta por Alfred Tarski , y la interpretación en forma de cálculo de problemas por Andrey Nikolaevich Kolmogorov . La comprensión en forma de realizabilidad recursiva fue propuesta por Stephen Cole Kleene y apoyada por la escuela científica de Andrey Andreevich Markov . Para la década de los 70 del siglo XX se completó la construcción de la teoría de las secuencias de libre devenir [1] .
Lógica intuicionista
En las matemáticas intuicionistas , una proposición se considera verdadera solo si puede probarse mediante algún "experimento mental". Es decir, la verdad del enunciado "Hay un objeto x para el cual la proposición A(x) es verdadera " se prueba construyendo tal objeto, y la verdad del enunciado " A o B " se prueba probando el verdad del enunciado A o demostrando la verdad del enunciado B. De esto, en particular, se sigue que el enunciado " A o no A " puede no ser verdadero, y la ley del tercero excluido es inaceptable. Una proposición matemática verdadera es una serie de construcciones de carácter efectivo hechas con el uso de la lógica intuicionista. La eficiencia no está necesariamente relacionada con la presencia de un algoritmo y puede depender de factores físicos e históricos, resolución de problemas reales [1] .
Los principales objetos de estudio de las matemáticas intuicionistas son los objetos constructivos : números naturales y racionales , conjuntos finitos de objetos constructivos con una lista de elementos, secuencias que se convierten libremente (secuencias de elección, a cada miembro de la cual se puede acceder efectivamente), tipos intuicionistas (propiedades que puedan tener los objetos de estudio). Las secuencias que se transforman libremente se distinguen según el grado de información conocida por el investigador. Si la ley de formación de la secuencia se conoce por completo, entonces se llama dada por la ley, si solo se conoce el segmento inicial: sin ley. Las vistas se integran en una jerarquía en la que los elementos de una vista se definen independientemente de la vista en sí, evitando así las antinomias . Las especies rara vez son objeto de estudio, la mayoría de los resultados de las matemáticas intuicionistas se pueden obtener sin utilizarlas [1] .
Intuicionismo y otros enfoques matemáticos
En el tratamiento de la teoría de conjuntos, no se hace distinción entre objetos abstractos y objetos cuya existencia puede ser confirmada por construcción. En las matemáticas clásicas, las propiedades y leyes de las colecciones finitas se extrapolaban a conjuntos infinitos. Al mismo tiempo, no hay forma de construir objetos de manera efectiva, lo que se refleja en los llamados "teoremas de la existencia pura". La ausencia de la posibilidad de construcción no tiene conexión con las antinomias de la teoría de conjuntos y se aplica a todas las ramas de las matemáticas [1] .
Los conceptos de formalismo e intuicionismo tuvieron una influencia significativa entre sí . Los criterios sustantivos de las metamatemáticas, que son necesarios para fundamentar la consistencia de las teorías formales, suelen refinarse en el marco del intuicionismo. Al mismo tiempo, se obtuvieron una serie de resultados de la lógica intuicionista al formalizar el método [1] .
En una interpretación amplia , la dirección constructiva de las matemáticas puede considerarse como parte de las matemáticas intuicionistas [1] .
Véase también
Notas
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Vinogradov I. M. Intuicionismo // Enciclopedia matemática. - M. : Enciclopedia soviética, 1977. - T. 2.
Literatura
- Geyting A. Intuicionismo. Introducción. - M. : Mir, 1965. - 199 p.
- Kline M. Matemáticas. Pérdida de certeza . — M .: Mir, 1984. — 446 p. Archivadoel 12 de febrero de 2007 enWayback Machine
- "Análisis." Encyclopædia Britannica . 2006. Encyclopædia Britannica 2006 Ultimate Reference Suite DVD 15 de junio de 2006, "Análisis constructivo" ( Ian Stewart , autor)
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