En la teoría de grupos, las transformaciones de Tietze se utilizan para transformar una definición de grupo original en otra definición, a menudo más simple, del mismo grupo . Las transformaciones llevan el nombre de Heinrich Tietze , quien las propuso en un artículo de 1908.
El grupo se especifica en términos de generadores y relaciones . Formalmente hablando, una definición de grupo es un par formado por un conjunto de generadores y un conjunto de palabras de un grupo libre sobre generadores, que se consideran relaciones. Las transformaciones de Tietze se basan en pasos elementales, cada uno de los cuales traduce de manera obvia la tarea en la tarea de un grupo isomorfo . En 1908, Tietze demostró que se puede obtener cualquier otra tarea a partir de la tarea original para el grupo G mediante la aplicación repetida de los cuatro tipos de transformaciones que se presentan a continuación [1] .
Si la proporción se puede derivar de las proporciones existentes, entonces se pueden agregar a la tarea sin cambiar el grupo. Sea G=〈 x | x 3 =1 〉 es la tarea final de un grupo cíclico de orden 3. Multiplicando ambos lados de x 3 =1 por x 3 , obtenemos x 6 = x 3 = 1, entonces x 6 = 1 es derivable de x 3 = 1. Entonces G=〈 x | x 3 =1, x 6 =1 〉es otra tarea del mismo grupo.
Si una razón se puede derivar de otras razones, se puede eliminar del trabajo sin cambiar el grupo. En la tarea G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1 〉 la relación x 6 = 1 se puede derivar de x 3 = 1, por lo que se puede eliminar. Tenga en cuenta, sin embargo, que si eliminamos la relación x 3 = 1 de la definición del grupo, la definición G = 〈x | x 6 = 1 〉 define un grupo cíclico de orden 6 y ya no define el mismo grupo. Debe tener cuidado y eliminar la proporción solo si se puede derivar de las proporciones restantes.
Dada una asignación de grupo, se puede agregar un nuevo generador que se expresa como una palabra en los generadores originales. A partir de la especificación G = 〈x | x 3 = 1 〉 y configurando y = x 2 , obtenemos una nueva tarea G = 〈x , y | x 3 = 1, y = x 2〉 definiendo el mismo grupo.
Si la relación es p = V , donde p es un generador y V es una palabra que no contiene p , el generador puede eliminarse. En este caso, todas las apariciones de p en otras palabras deben ser reemplazadas por V . Dado un grupo abeliano elemental de orden 4, G=〈 x,y,z | x = yz, y 2 =1, z 2 =1, x=x −1〉 se puede reemplazar por G = 〈y , z | y 2 = 1, z 2 = 1, ( yz ) = ( yz ) −1〉 quitando x .
Sea G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1 〉 es la asignación de un grupo simétrico de grado tres. El generador x corresponde a la permutación (1,2,3) y el generador y corresponde a la permutación (2,3). Usando las transformaciones de Tietze, podemos traducir esta tarea a G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1 〉, donde z corresponde a la permutación (1,2).
| G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1〉 | (estado inicial) |
| GRAMO = 〈X , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, z = xy〉 | Regla 3: agregue el generador z |
| GRAMO = 〈X , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, x = zy〉 | Reglas 1 y 2: agregue x = z y −1 = zy y elimine z = xy |
| GRAMO = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1〉 | Regla 4: eliminar el generador x |