Homología reducida

La homología reducida es una modificación menor de la teoría de la homología, que nos permite formular algunos enunciados de topología algebraica , como la dualidad de Alexander , sin casos excepcionales.

La homología y la cohomología reducidas suelen indicarse con una onda. En este caso, la diferencia con la homología ordinaria se manifiesta solo en la dimensión cero; es decir , para todo n positivo también . $H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z}$ $H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)$

Complejo de cadenas

En la definición habitual de homología espacial , se construye a partir de la cadena compleja

\dotsb {\overset {\parcial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\parcial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n -1}{\overset {\parcial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\parcial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\parcial_{0}}{\longrightarrow \,}}0

y se definen como factores $H_{n}(X)=\ker(\parcial _{n})/\mathrm {im} (\parcial _{n+1})$

Para definir la homología reducida, se debe usar la misma definición para el complejo de cadena complementado

\dotsb {\overset {\parcial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\parcial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n -1}{\overset {\parcial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\parcial _ {1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0

Literatura

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