Principio de dualidad (teoría de conjuntos)

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El principio de dualidad en la teoría de conjuntos es una declaración sobre las propiedades de las operaciones en conjuntos.

Redacción

Sea dado un conjunto . Considere el sistema de todos sus subconjuntos . Es verdadera la siguiente proposición: si es verdadero el teorema sobre los subconjuntos del conjunto , el cual se formula utilizando únicamente las operaciones de unión ( ), intersección ( ) y complemento ( ), entonces el teorema obtenido de éste reemplazando la operación de unión e intersección con las operaciones de intersección y unión, respectivamente, también es verdadera, el conjunto vacío es el conjunto y el conjunto es el conjunto vacío. $METRO$ $METRO$ $A\taza B$ $A\cap B$ ${\sobrelínea {A}}$ ${\ estilo de visualización \ conjunto vacío}$ $METRO$ $METRO$

Ejemplos

Teorema. Para cualquier subconjunto y conjunto es cierto que . $A$ $B$ $C$ $METRO$ $(A\tapa B)\tapa C=(A\tapa C)\taza (B\tapa C)$

De este (correcto) teorema, por el principio de dualidad, se puede obtener un enunciado similar con la siguiente igualdad: . $(A\tapa B)\taza C=(A\taza C)\tapa (B\taza C)$

Teorema. Para cualquier subconjunto del conjunto , es cierto que . $A$ $METRO$ $A\cap {\overline {A}}=\emptyset$

De este (correcto) teorema, por el principio de dualidad, se puede obtener un enunciado similar con la siguiente igualdad: . $A\cup {\overline {A}}=M$

Es importante señalar que el principio de dualidad es aplicable solo en los casos en que el enunciado del teorema postula la igualdad de dos expresiones sobre conjuntos; en otros casos, puede ser violado. Por ejemplo, para cualquier subconjunto y conjunto es cierto que ; sin embargo, la afirmación dual ( ) es falsa. $A$ $B$ $METRO$ $A\cap B\subseteq A\cup B$ $A\cup B\subseteq A\cap B$

Literatura

Principio de dualidad // Gogol - Débito. - M. : Enciclopedia Soviética, 1972. - ( Gran Enciclopedia Soviética : [en 30 volúmenes] / editor en jefe A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 7).