Número de Mersenne

El número de Mersenne es un número de la forma , donde es un número natural ; tales números son notables porque algunos de ellos son primos para valores grandes de . Reciben su nombre del matemático francés Marin Mersenne , quien estudió sus propiedades en el siglo XVII. $M_{n}=2^{n}-1$ $norte$ $norte$

Primeros números de Mersenne [1] :

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, …

Propiedades

Para todo , lo siguiente es cierto: si es compuesto, entonces también es compuesto, lo que se deduce de la expansión: $Minnesota}$ $norte$ ${\ Displaystyle n = kl, k, l> 1}$ $Minnesota}$

2^{n}-1=2^{kl}-1=(2^{k}-1)(2^{k(l-1)}+2^{k(l-2)} +\puntos +1),

Inmediatamente se sigue de esto: un número es primo solo si el número también es primo. La declaración inversa no es verdadera en el caso general, el contraejemplo más pequeño es . $Minnesota}$ $norte$ $M_{{11}}=2047=23\cdot 89$

Cualquier divisor de un número compuesto por un número primo tiene la forma , donde es un número natural (esto es una consecuencia del pequeño teorema de Fermat ). $M_{p}$ $pags$ $2\cdot p\cdot k+1$ $k$

Los números primos de Mersenne están estrechamente relacionados con los números perfectos . Euclides demostró que un número de la forma , donde el número de Mersenne es primo, es perfecto. Euler demostró que todos los números perfectos pares se agotan con esta fórmula. (En cuanto a los números perfectos impares, hasta ahora no se sabe nada sobre su existencia). ${\tfrac{M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=2^{{p-1}}(2^{p}-1)$ $M_{p}$

Primos de Mersenne

Para todos los números primos de la forma, el exponente también es siempre un número primo, por lo que se estudian especialmente los números de Mersenne con un exponente primo [2] (en algunos artículos, solo esos números se consideran números de Mersenne). La secuencia de números primos de Mersenne comienza así [3] : $2^{n}-1$ $norte$ $M_{p}=2^{p}-1$ $pags$

3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131 071, 524 287, 2 147 483 647 , 2 305 843 009 213 693 951 , 618 970 019 642 690 137 449 562 111 , 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 127 , 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 …

Los exponentes de los números primos de Mersenne conocidos forman una secuencia [4] [5] : $pags$

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213 , 19937 , 21 701 , 23 209 , 44 497 , 86 243 , 110 503 , 132 049 , 216 091 , 756 839 , 859 433 , 1 257 787 , 1 398 269 , 2 976 221 , 3 021 377 , 6 972 593 , 13 466 917 20 996 011 , 24 036 583 , 25 964 951 , 30 402 457 , 32 582 657 , 37 156 667 , 42 643 801 , 43 112 609 , 57 885 161 , 74 207 281 2 , 8 9 7

Los números de Mersenne ganaron fama en relación con un algoritmo eficiente para verificar la simplicidad de los números de Mersenne : la prueba de Luc-Lehmer . Por lo tanto, los números primos de Mersenne han ocupado durante mucho tiempo el liderazgo como los números primos más grandes conocidos [6] . Además, los números primos de Mersenne se utilizan para construir generadores de números pseudoaleatorios con períodos grandes [7] , como el vórtice de Mersenne .

Encontrar los números primos de Mersenne

El número primo más grande conocido (a partir de enero de 2019) es el número de Mersenne , encontrado el 7 de diciembre de 2018 por Patrick Laroche como parte del proyecto informático voluntario GIMPS . La notación decimal de un número contiene 24.862.048 dígitos [8] . $M_{82589933}=2^{82589933}-1$ ${\ estilo de visualización M_ {82589933}}$

En total, a diciembre de 2018, se conocen 51 números primos de Mersenne, mientras que los números de serie se establecen de manera confiable solo para los primeros 48 [9] números. En particular, no se sabe si hay otros primos de Mersenne más pequeños que el récord conocido. En particular, el número primo de Mersenne número 45 se encontró dos semanas después que el número primo de Mersenne número 47 conocido , mientras que el número primo de Mersenne número 46 no se encontró hasta un año después. $M_{37156667}$ $M_{{43112609}}$ $M_{42643801}$

En 2009, el proyecto GIMPS recibió un premio de $ 100,000 de Electronic Frontier Foundation por encontrar un número primo de Mersenne para encontrar un número primo cuya notación decimal contenga al menos 10 millones de dígitos [10] . $M_{{43112609}}$

Variaciones y generalizaciones

El doble número de Mersenne es un número de la forma. A partir de enero de 2021, solo se conocen 4 números primos de este tipo (para). $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$ ${\ estilo de visualización n = 2,3,5,7}$

Los números Catalan-Mersenne son miembros de una secuencia de números que comienzan con 2 y se construyen aplicando una funciónal miembro anterior; primeros elementos[11]: $2^{n}-1$ $norte$

2, 3, 7, 127 , 170141183460469231731687303715884105727 …

Catalán asumió que estos números eran primos "hasta cierto límite".

El número de Mersenne generalizado es un número de la forma:

h^{0}+h^{1}+h^{2}+\puntos +h^{n-1}={\frac {h^{n}-1}{h-1)) =M_{h,n}

Tal generalización se debe a lo que se puede representar como la suma de los primeros términos de una progresión geométrica creciente : $2^{n}-1$ $norte$

2^{n}-1=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\puntos +2^{n-1}={\frac {2^{n}- 1}{2-1}}

en otras palabras, los números de Mersenne son un caso especial de números de Mersenne generalizados para . Para algunos valores y los números de Mersenne generalizados son simples, por ejemplo, , , , , , y muchos otros. ${\ estilo de visualización h = 2}$ $h$ $norte$ $M_{3,3}$ $M_{3,7}$ $M_{3,13}$ $M_{3,71}$ $M_{5,3}$ $M_{5,7}$ $M_{5,47}$

Temas abiertos

No se sabe si el conjunto de primos de Mersenne es finito o infinito, y se desconoce la densidad de su distribución en el conjunto de los números naturales.

No se sabe si existen números primos dobles de Mersenne para . ${\ estilo de visualización n> 7}$

Notas

↑ Secuencia OEIS A000225 _
↑ Secuencia OEIS A001348 _
↑ Secuencia OEIS A000668 _
↑ Secuencia OEIS A000043 _
↑ Lista de números primos de Mersenne conocidos . Gran búsqueda de Internet Mersenne Prime . Consultado: 9 de diciembre de 2016.
↑ Los números primos más grandes conocidos: un resumen . Las páginas principales (26 de diciembre de 2018). Recuperado: 28 de diciembre de 2018.
↑ R. P. Brent, P. Zimmermann. Generadores de números aleatorios con período divisible por un primo de Mersenne // Apuntes de clase en informática. - 2003. - T. 2667 . - P. 1-10 .
↑ Elizabeth Ivtushok. El número primo más grande se ha incrementado en un millón y medio de caracteres . nplus1.ru. Recuperado: 23 de diciembre de 2018. (Ruso)
↑ Hitos de GIMPS . www.mersenne.org . Consultado: 5 de abril de 2022. (indefinido)
↑ Un número primo récord de 12 millones de dígitos obtiene un premio neto de $100 000
↑ Secuencia OEIS A007013 _

Enlaces

Weisstein, Eric W. Mersenne Prime (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Mersenne Número (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Double Mersenne Numbers (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Andrei Konyaev . Más fácil en ninguna parte. Encontré un número primo cinco novelas largas "Guerra y paz" // lenta.ru. — 12 de febrero de 2013.
Proyecto de búsqueda de Mersenne Prime (GIMPS ) .
Proyecto de búsqueda de divisores de dobles números de Mersenne MM31, MM61, MM89, MM107, MM127 (ing.) .