Baer categoría

La categoría de Baer es una forma de distinguir entre conjuntos "grandes" y "pequeños". Un subconjunto de un espacio topológico puede ser de la primera o segunda categoría de Baire.

Nombrado en honor al matemático francés René-Louis Baer .

Definiciones

Los espacios topológicos que admiten una cobertura contable por subconjuntos densos en ninguna parte pertenecen a los espacios de la primera categoría de Baer , los que no permiten tal cobertura pertenecen a los espacios de la segunda categoría de Baer.
Un subconjunto de un espacio topológico que se puede representar como una unión contable de conjuntos que no son densos en ninguna parte se denomina conjunto de la primera categoría de Baire en el espacio . $X$ $X$ $X$
Un conjunto que no se puede representar de esta forma se llama conjunto de la segunda categoría de Baer en el espacio . $X$
Un espacio topológico en el que cualquier conjunto de la primera categoría no contiene puntos interiores se denomina espacio de Baer .

Propiedades

Para efectos del análisis, es conveniente cuando el espacio en cuestión pertenece a la segunda categoría de Baer, ya que la adscripción a esta categoría equivale a la validez de teoremas de existencia , tales como:

Si un espacio de la segunda categoría de Baer está cubierto por una familia contable de conjuntos cerrados, entonces al menos uno de ellos tiene un punto interior ( el teorema de existencia de un punto interior ).
En un espacio de la segunda categoría de Baer, cada familia contable de conjuntos densos abiertos en todas partes tiene una intersección no vacía ( el teorema de existencia de un punto común ).

Sin embargo, si el espacio pertenece a la primera categoría de Baer, solo se pueden obtener resultados negativos de esto; por ejemplo, cualquier métrica en este espacio que sea compatible con la topología está incompleta, y el cierre de cualquier abierto (no vacío) el subconjunto no es compacto . Por eso, por ejemplo, el espacio de polinomios es incompleto en cualquier métrica en la que sea un espacio vectorial topológico (un espacio vectorial numerable -dimensional en cualquier topología vectorial pertenece a la primera categoría de Baer).

La aplicación de categorías de Baire a subconjuntos de un espacio topológico dado tiene sentido si el espacio ambiental pertenece a la segunda categoría de Baire (de lo contrario, todos los subconjuntos serán la primera categoría en el espacio dado). En términos generales, los conjuntos de la primera categoría se consideran "pequeños" ("flacos") y los segundos, "grandes" ("gordos").

En este sentido, la noción de categoría se asemeja a la noción de medida , pero a diferencia de una medida, la categoría de un subconjunto depende únicamente de la topología del espacio que lo encierra.

Esto hace que sea conveniente utilizarlo en espacios sin una medida naturalmente definida. Por ejemplo, utilizando la categoría, se puede dar un significado preciso a conceptos tales como "casi todos los subconjuntos compactos convexos del espacio euclidiano ".

Teorema de Baer

Teorema. Los espacios métricos completos y los espacios de Hausdorff localmente compactos pertenecen a la segunda categoría de Baire.

Para probarlo, basta mostrar que toda familia numerable de conjuntos densos abiertos en todas partes tiene una intersección no vacía. $G_{k}\;(k=1,\;2,\;\ldots)$

En el caso de un espacio métrico completo, se construye inductivamente una secuencia de bolas tal que para cada una y el radio de la bola sea menor que . La secuencia de contraer bolas cerradas tiene una intersección no vacía debido a la completitud del espacio, y el punto común de estas bolas será común para los conjuntos . $B_{k}$ $k$ ${\bar {B}}_{k+1}\subconjunto B_{k}\cap G_{k}$ $B_{k}$ $2^{-k}$ $G k}$

En el caso de un espacio de Hausdorff localmente compacto, construimos inductivamente una secuencia de conjuntos abiertos tal que para cada y el cierre del conjunto sea compacto. Luego, la secuencia de conjuntos forma un sistema centrado de subconjuntos cerrados en un espacio compacto de Hausdorff y, por lo tanto, tiene una intersección no vacía. $B_{k}$ $k$ ${\bar {B}}_{k+1}\subconjunto B_{k}\cap G_{k}$ $B_{k}$ ${\bar{B}}_{k}$ ${\bar{B}}_{1}$

Ejemplo. Como aplicación de las categorías de Baer, se puede demostrar que el conjunto de puntos irracionales no puede ser el conjunto de todos los puntos de discontinuidad de cualquier función sobre la recta real. El conjunto de todos los puntos de discontinuidad de cualquier función en es una unión contable de conjuntos cerrados que consta de aquellos puntos en los que la oscilación de la función no es menor que . Si existiera la función deseada, los conjuntos no serían densos en ninguna parte, ya que su unión no tiene puntos interiores. Esto implicaría que el conjunto de la primera categoría está en , y como su complemento también tiene la primera categoría, entonces todo el espacio sería de la primera categoría, lo que contradice su completitud. $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $F$ $\matemáticas {R}$ $E_{n}$ $F$ $1/n$ $E_{n}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$

Véase también

conjunto g-delta

Enlaces

Okstoby J. Medida y categoría. - Traducir De inglés. — M.: Mir, 1974. — 157 p.