Método de Galerkin discontinuo

El método discontinuo de Galerkin ( DGM para abreviar) es un método para resolver ecuaciones de operadores, principalmente ecuaciones diferenciales. Es un desarrollo del método clásico de elementos finitos (FEM), basado en la formulación variacional de Galerkin .

Historia del método

El método discontinuo de Galerkin fue propuesto por primera vez a principios de los años 70 del siglo XX como un método para resolver ecuaciones en derivadas parciales , en 1973 Reid y Hill propusieron una variante del método para resolver la ecuación de transporte de neutrones hiperbólicos. La primera formulación de un método para resolver problemas elípticos no puede ser determinada por una sola publicación, pero el desarrollo del método estuvo fuertemente influenciado por Ivo Babushka (inglés) y Jacques-Louis Lions (inglés) . Para ecuaciones de cuarto orden, Baker introdujo una variante del método en 1977. También debe su desarrollo del método a las publicaciones de Arnoldi, Brezzi, Cockburn y Marini.

Definiciones básicas

El elemento final es un triple de espacios , donde: $\Sigma$ ${\ estilo de visualización (K, ~ P, ~ L)}$

$k$ - elemento geométrico finito - un conjunto de puntos en el espacio (a menudo, cuando dicen "elemento finito", se refieren exactamente a este conjunto);
$PAGS$ - conjunto de funciones de coordenadas - la base del espacio que aproximará la solución;
$L$ — el conjunto de grados de libertad — la base del espacio dual. . $L=P^{*}$

La idea del método y la diferencia con el FEM

Considere la idea de un método para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden en el dominio . A diferencia del método Galerkin, donde la formulación se realiza en forma débil, en el DGM, la formulación se realiza en forma débil débil ( formulación variacional ultra débil ) . Representamos la ecuación original en forma de dos ecuaciones de primer orden. Dependiendo de la naturaleza de las ecuaciones, esto se puede hacer de varias maneras, lo que conducirá a diferentes formulaciones variacionales. A continuación, construimos una cuadrícula en el dominio computacional , realizamos la declaración variacional de Galerkin para cada subdominio y se utilizarán cuatro espacios: dos espacios (coordenada y proyección) para la función en sí y dos para su derivada. Después de eso, las ecuaciones se suman en toda la región y uno de los sistemas resultantes de dos ecuaciones se excluye de alguna manera. Esta descripción es muy general y ambigua, ya que el método siempre se ajusta a problemas específicos y la obtención de un enunciado variacional ultradébil depende de la naturaleza del proceso y del propósito de resolver la ecuación. ${\ estilo de visualización \ omega}$
${\displaystyle K=\left\{K_{i}\right\}:K_{i}\cap K_{j}=\varnothing,\Omega =\bigcup K_{i))$

A diferencia del FEM clásico, el método no es conforme, es decir, la solución resultante puede ser discontinua, lo cual es un plus en problemas donde la solución tiene saltos bruscos (es decir, discontinuos o cercanos a ella), sin embargo, en el caso de una solución suave, esfuerzos adicionales para hacer que la aproximación numérica resultante sea suave. El método también es conveniente cuando se trabaja con cuadrículas inconsistentes y con bases de diferente orden en los elementos, ya que no requiere coordinación adicional (lo que se tenía que hacer en el método clásico).

Ejemplos de tipos específicos de ecuaciones

Ecuación de calor

Considere el caso más simple de la ecuación de calor estacionaria:

$-\Delta u=f~in~\Omega$
$u=g~on~\parcial \Omega$

$\lambda$ es el coeficiente de conductividad térmica, es el lado derecho de la ecuación. Realicemos el reemplazo y, por lo tanto, reduzcamos la ecuación de segundo orden a dos ecuaciones de primer orden: ${\ estilo de visualización f = f (x, y, z)}$
${\ estilo de visualización \ nabla u = \ sigma}$

$\left\{{\begin{array}{lcr}\nabla u=\sigma \\-\nabla \cdot \sigma =f\\\end{array}}\right.$

En el dominio computacional, introducimos el espacio de Lebesgue con el correspondiente producto escalar: . Y los correspondientes espacios de elementos finitos: - el espacio de funciones escalares, para aproximar la solución - el espacio de funciones vectoriales para aproximar el gradiente de la solución Los espacios introducidos son espacios de Sobolev (escalares y vectoriales) con la norma correspondiente. De estos espacios, seleccionamos funciones de prueba y para cada ecuación realizamos la declaración de Galerkin en un elemento separado, obtenemos un sistema de ecuaciones en forma débil [1] : $L_{2}(\Omega )$ ${\ estilo de visualización (u, v) = \ int _ {\ Omega} uvd \ Omega}$
$V_{h}=\left\{v\in L_{2}(\Omega ):v\in P_{i},\forall K_{i}\in K\right\}$
$\Sigma_{h}=\left\{\tau \in [L_{2}(\Omega )]^{3}:\tau \in \Sigma_{i},\forall K_{i} \en K\derecha\}$
${\ estilo de visualización v, \ tau}$

$\left\{{\begin{matriz}{lcr}\int _{K_{i}}\sigma \cdot \tau dx\ =-\int _{K_{i}}u\nabla \cdot \ tau dx\ +\int _{\parcial K_{i}}{\hat {u}}_{K_{i}}(n_{K_{i}}\cdot \tau )ds\ ~\forall \tau \ en \Sigma_{i}\\\int_{K_{i}}\sigma \cdot \nabla vdx\ =\int_{K_{i}}fvdx\ +\int_{\parcial K_{i}} ({\hat {\sigma }}_{K_{i}}\cdot n_{K_{i}})vds\ ~\forall v\in V_{i}\\\end{array}}\right.$

Las funciones son flujos numéricos que se pueden definir de diferentes maneras (lo que lleva a diferentes métodos) y deben cumplir las siguientes condiciones: ${\ estilo de visualización {\ sombrero {u}), {\ sombrero {\ sigma))}$

Los flujos numéricos son únicos en el límite ${\ estilo de visualización \ parcial \ Omega}$
Los flujos numéricos se pueden representar como: , donde es una función suave que satisface las primeras condiciones de contorno dadas. ${\displaystyle {\hat {u}}(v)={\Bigl .}v{\Bigl |}_{\parcial \Omega },~{\hat {\sigma }}(v,\nabla v)= {\Bigl .}\nabla v{\Bigl |}_{\parcial \Omega ))$ $v$

Para simplificar la notación, se introducen el operador promedio y el operador de salto, que determinan el comportamiento de las funciones en la frontera de los elementos:

Operadores de media y salto [2]
Operador medio	operador de salto	Alcance
$\left\langle v\right\rangle =(v_{i}+v_{j})/2$	$[v]=v_{i}n_{i}+v_{j}n_{j}$	${\displaystyle \Gamma _{ij}=\parcial K_{i}\cap \parcial K_{j))$
${\displaystyle \left\langle v\right\rangle =v_{i))$	${\ estilo de visualización [v] = v_ {i} n_ {i))$	${\ estilo de visualización \ parcial \ Omega}$
$\left\langle \tau \right\rangle =(\tau _{i}+\tau _{j})/2$	${\ estilo de visualización [\ tau] = \ tau _ {i} \ cdot n_ {i} + \ tau _ {j} \ cdot n_ {j}}$	${\ estilo de visualización \ Gamma _ {ij}}$
${\displaystyle \left\langle \tau \right\rangle =\tau _{i))$	${\ estilo de visualización [\ tau] = \ tau _ {i} \ cdot n_ {i}}$	${\ estilo de visualización \ parcial \ Omega}$

Ahora sumamos todas las ecuaciones obtenidas para cada subdominio y obtenemos dos ecuaciones para todo el dominio:

$\left\{{\begin{matriz}{lcr}\int_{\Omega}\sigma \cdot \tau dx\ =-\int_{\Omega}u\nabla \cdot \tau dx\ + \sum _{K_{i}\in K}\int _{\parcial K_{i}}{\hat {u}}_{K_{i}}(n_{K_{i}}\cdot \tau ) ds\ ~\forall \tau \in \Sigma _{h}\\\int _{\Omega }\sigma \cdot \nabla vdx\ =\int _{\Omega }fvdx\ +\sum _{K_{i }\in K}\int _{\parcial K_{i}}({\hat {\sigma }}_{K_{i}}\cdot n_{K_{i}})vds\ ~\forall v\in V_{h}\\\end{matriz}}\right.$

Usemos la propiedad [3] : y como resultado obtenemos una configuración variacional ultradébil para la ecuación original: $\sum_{K_{i}}\int_{\parcial K_{i}}v(\tau \cdot n_{K_{i}})ds\ =\sum_{K_{i}}\ int _{\parcial K_{i))([v]\cdot \left\langle \tau \right\rangle +\left\langle v\right\rangle [\tau ])ds\$

$\int_{\Omega}\nabla u\cdot \nabla vdx\ +\sum_{K_{i}}\int_{\parcial K_{i}}{[{\hat {u}}- u]\cdot \left\langle \nabla v\right\rangle ds}+\sum_{K_{i}}\int_{\parcial K_{i}}{\left\langle {\hat {u}} -u\right\rangle [\nabla v]ds}=\int_{\Omega }{fvdx}+\sum_{K_{i}}\int_{\parcial K_{i}}{[v]\ izquierda\langle {\sombrero {\sigma}}\derecha\rangle ds}+\sum_{K_{i}}\int_{\parcial K_{i}}{\left\langle v\right\rangle [\ sigma ]ds},~\para todos v\in V_{h}$

Queda por determinar los caudales numéricos. La definición de flujos numéricos está relacionada con la tarea y los requisitos para la solución y conduce a varios métodos, por ejemplo:

Función y alcance	Método IP [4]	Método de IP estabilizada	NIGP [5]
${\ estilo de visualización {\ sombrero {u}}}$ sobre el ${\ estilo de visualización \ parcial \ Omega}$	${\ estilo de visualización {\ sombrero {u}} = 0}$
${\ estilo de visualización {\ sombrero {u}}}$ sobre el $\parcial K_{i}$	${\sombrero {u}}=\langle u\rangle$		${\sombrero {u}}=\langle u\rangle +n_{K_{i}}\cdot [u]$
${\ estilo de visualización {\ sombrero {\ sigma}}}$ una y otra vez ${\ estilo de visualización \ parcial \ Omega}$ $\parcial K_{i}$	${\hat {\sigma ))=\langle \nabla u\rangle$	${\hat {\sigma }}=\left\langle \nabla u\right\rangle +c[u],~c-const$

Ecuaciones de Maxwell en modo armónico

El enfoque para construir un enunciado variacional ultradébil para las ecuaciones de Maxwell puede ser diferente: se puede obtener un sistema de ecuaciones de primer orden directamente de las propias ecuaciones de Maxwell o reduciendo estas ecuaciones a la ecuación de Helmholtz , y luego haciendo un reemplazo similar a el reemplazo por la ecuación del calor, obteniendo un sistema de primer orden. En este caso, utilizaremos el primer método. El sistema de ecuaciones de Maxwell en modo armónico con frecuencia , en uno de los casos más simples se ve así: $\omega$

$\left\{{\begin{array}{lcr}-i\omega \epsilon \mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} =0\\-i\omega \mu \mathbf { H} +\nabla \times \mathbf {E} =0\\\end{matriz}}\right.$

Ambas ecuaciones se realizan en el dominio computacional . Condiciones de contorno: . Multiplicamos ambas ecuaciones escalarmente por funciones de prueba definidas en el elemento correspondiente . Las funciones del mismo espacio se utilizarán como funciones básicas. Para determinarlos, utilizamos el sistema adjunto de ecuaciones de Maxwell [6] : ${\ estilo de visualización \ omega}$ $\mathbf {E} \times \mathbf {n} =-2\mathbf {g}$ $\mathbf {\xi ^{K_{i))} ,\mathbf {\psi ^{K_{i))}$ $K_{i}\en K$

$\left\{{\begin{array}{lcr}i\omega \epsilon \mathbf {\xi ^{K_{i))} +\nabla \times \mathbf {\psi ^{K_{i} )) =0\\i\omega \mu \mathbf {\psi ^{K_{i))} -\nabla \times \mathbf {\xi ^{K_{i))} =0\\\end{matriz }}\Correcto.$

Ambas ecuaciones de este sistema están escritas para un elemento . Multiplicando cada ecuación del sistema por una función de prueba, transformándolas usando un análogo de la fórmula de Green y sumando, obtenemos la siguiente expresión: $K_{yo}$

$\int _{K_{i}}{\left(\mathbf {E} \cdot {\overline {i\omega \epsilon \mathbf {\xi ^{K_{i}}} +\nabla \times \mathbf {\psi ^{K_{i}}} }}+\mathbf {H} \cdot {\overline {i\omega \mu \mathbf {\psi ^{K_{i}}} -\nabla \times \mathbf {\xi ^{K_{i))} }}\right)dx}=\int _{\parcial K_{i}}{\left(\mathbf {n^{K_{i}}} \times \mathbf {H} \cdot \mathbf {\xi ^{K_{i))} -\mathbf {n^{K_{i))} \times \mathbf {E} \cdot \mathbf {\psi ^{K_ {i}}} \derecho)ds}$

Teniendo en cuenta el sistema de ecuaciones para funciones de prueba, esta expresión se simplifica a:

$\int_{\parcial K_{i}}{\left(\mathbf {n^{K_{i}}} \times \mathbf {H} \cdot \mathbf {\xi ^{K_{i} }} -\mathbf {n^{K_{i}}} \times \mathbf {E} \cdot \mathbf {\psi ^{K_{i}}} \right)ds}=0$

Introduzcamos la notación:

Vector	matrices
$\mathbf {u^{K_{i))} ={\binom ({\Bigl .}\mathbf {E} {\Bigr \|}_{K_{i))}{{\Bigl .}\ mathbf {H} {\Bigr \|}_{K_{i))))~~\mathbf {\phi ^{K_{i))}={\binom {\mathbf {\xi ^{K_{i)) } }{\mathbf {\psi^{K_{i))} }}$	$Z^{K_{i}}={\begin{pmatrix}0&n_{3}^{K_{i}}&-n_{2}^{K_{i}}\\-n_{3}^ {K_{i}}&0&n_{1}^{K_{i}}\\n_{2}^{K_{i}}&-n_{1}^{K_{i}}&0\end{pmatrix}}$
$\chi ^{K_{i}}={\Bigl .}L^{K_{i},+}\mathbf {u^{K_{i}}} {\Bigr \|}_{\parcial K_ {i}}~~\gamma ^{K_{i}}={\Bigl .}L^{K_{i},+}\mathbf {\phi ^{K_{i}}}{\Bigr \|}_ {\ K_ parcial{i))$ ${\displaystyle F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}})={\Bigl .}-L^{K_{i},-}\mathbf {\phi ^{K_{i}} } {\Grande \|}_{\K_{i))} parcial$	$D^{K_{i}}{\begin{pmatrix}0&(Z^{K_{i}})^{T}\\Z^{K_{i}}&0\end{pmatrix}}$ $L^{K_{i},\pm }={\frac {1}{\sqrt {2\sigma ))}\left(Z^{K_{i)),~\pm \sigma (Z ^{K_{i}})^{2}\right)$

Ahora el problema se plantea como encontrar vectores para todos los elementos que satisfagan las siguientes ecuaciones [6] : ${\ estilo de visualización \ chi ^ {K_ {i}}}$

$\int_{\parcial K_{i}}{\chi ^{K_{i}}\cdot {\overline {\gamma ^{K_{i}}}}ds}-\sum_{\Gamma _ {ij}=\parcial K_{i}\cap \parcial K_{j}\neq \varnada }\int_{\Gamma_{ij)){\chi ^{K_{j))\cdot {\overline {F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}})}}ds}-\sum _{\Gamma _{i}=\parcial K_{i}\cap \parcial \Omega \neq \ varnada }\int _{\Gamma _{i}}{\chi ^{K_{i}}\cdot {\overline {F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}})))} ds }=\int _{\parcial K_{i}}{\mathbf {g} \cdot {\overline {F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}})))ds}~~ \ forall \gamma ^{K_{i}}$

Si las ecuaciones originales tuvieran un lado derecho en la formulación ultradébil final, aparecerían términos adicionales en forma de integrales sobre el elemento final mismo. Las peculiaridades del método son que luego de obtener la solución del sistema, es necesario resolver otra para poder obtener el vector , sin embargo, al haberlo encontrado, inmediatamente reconocemos los valores de las dos componentes del campo electromagnético. : y . Esta afirmación aún puede transformarse obteniendo inmediatamente una ecuación para el vector . $\mathbf{u}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {E}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {H}}$ $\mathbf{u}$

Literatura

Arnold DN, Brezzi F., Cocburn B., Mariri D. "Análisis unificado de DCM para problemas elípticos", 2002

Notas

↑ Yu. I. Shokin , E. P. Shurina , N. B. Intkina. Métodos modernos de redes múltiples. - NSTU, 2012. - 98 p. - ISBN 978-5-7782-2119-2 .
↑ Los valores de las funciones se toman como límite a la frontera desde el interior de la región, es decir , donde es la unidad normal hacia afuera. $v_{i}=v_{i}^{-}=lim_{\epsilon \to 0+}v(x-\epsilon n_{K_{i)))$ ${\ Displaystyle n_ {K_ {i}}}$
↑ Arnold D.N. , Brezzi F. , Cocburn B. , Mariri D. Análisis unificado de DCM para problemas elípticos. — 2002.
↑ Inglés. Pena interna, método de la pena interna, método de Baumann-Oden
↑ Método IP no simétrico
↑ 1 2 T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Resolviendo las Ecuaciones de Maxwell usando la Formulación Variacional Ultra Débil . — 2006.

Métodos para resolver ecuaciones diferenciales

Métodos de cuadrícula

Métodos de elementos finitos	Método de elementos finitos método Galerkin Método de Galerkin discontinuo Método de elementos finitos multiescala Método multired
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