Transformación de Wigner-Villa

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La transformada de Wigner -Ville es uno de los métodos efectivos para el análisis espectral -temporal de señales no estacionarias [1] [2] [3] [4] . Hay otros nombres: transformación de Wigner-Ville , distribución de Wigner - Ville , distribución de Wigner -Ville, función de Wigner .

Cálculo

P\left(\tau ,f\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }s\left(\tau +{\frac {t}{2}}\right) \cdot s^{*}\left(\tau -{\frac {t}{2}}\right)\cdot e^{-j2\pi ft}dt

La distribución solo puede tomar valores reales (incluidos los negativos). ${\ estilo de visualización P \ izquierda (\ tau, f \ derecha)}$

A pesar de la alta resolución tanto en frecuencia como en tiempo, la distribución puede generar componentes de frecuencia espurias [3] [4] que dificultan el análisis de la señal. Esto se debe a la no linealidad de la transformación.

Hay varios métodos para reducir la intensidad de los componentes secundarios utilizando ciertos procedimientos de promedio. Uno de ellos está usando una ventana h ( t ) en el dominio del tiempo. El resultado es la llamada pseudotransformación de Wigner [2] [3] [4] :

P\left(\tau ,f\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t)\cdot s\left(\tau +{\frac {t}{ 2}}\right)\cdot s^{*}\left(\tau -{\frac {t}{2}}\right)\cdot e^{-j2\pi ft}dt

Si la ventana es rectangular:

h(t)=\left\{{\begin{matriz}{ll}1,&-t_{0}\leq t\leq t_{0}\\0,&|t|>t_{0 }\end{matriz}}\right.{\textrm {,}}

luego, como , la pseudotransformada de Wigner se transforma en la transformada habitual de Wigner-Villa . A medida que t 0 disminuye, la intensidad de los componentes espectrales laterales disminuye y el precio de esto es un deterioro en la resolución de frecuencia. $t_{0}\rightarrow\infty$

Cuando se analiza una señal digitalizada, es más conveniente calcular la pseudotransformada de Wigner utilizando la transformada rápida de Fourier (FFT) en una ventana deslizante [3] . Para ello, antes de calcular el procedimiento FFT, se convierte una muestra de la señal s [ n ], seleccionada por una ventana deslizante de tamaño N win samples, según el siguiente algoritmo:

si el tamaño de la ventana es impar, entonces

{\begin{array}{ll}s_{1}[n]=s[n]\cdot s^{*}[N_{win}-n-1],&n=0,1,\ldots ,N_{ganar}-1,\end{matriz}}

para un tamaño de ventana uniforme

{\begin{array}{ll}s_{1}[n]=s[n]\cdot s^{*}[N_{win}-n-2],&n=0,1,\ldots ,N_{ganar}-2,\\s_{1}[N_{ganar}-1]=s[N_{ganar}-1]\cdot s^{*}[N_{ganar}-1];&\ fin {matriz}}

para que el resultado del procedimiento FFT resulte real, es necesario realizar una permutación cíclica de la señal recibida s 1 [ n ] a la izquierda por ( N gana −1)/2 (si Ngana - impar) o N gana / 2-1 (si N gana - par).

Al construir la distribución espectral-temporal calculada , todos los valores en la escala de frecuencia deben dividirse por 2

Ejemplo de uso

El programa informático gratuito PSE Lab [5] es adecuado para ilustrar el método .

El resultado de construir una distribución espectral-temporal para una señal simulada en una computadora:

s[n]=\exp \left(j\cdot \left(2\pi \cdot 0.05\cdot n+100\cdot \sin \left(2\pi \cdot 0.0005\cdot n\right)\ derecha)\derecha)+\exp \left(j\cdot \left(2\pi \cdot 0.1\cdot n+200\cdot \sin \left(2\pi \cdot 0.0005\cdot n\right)\right) \Correcto),

que consta de dos componentes FM , la frecuencia digital instantánea de uno de ellos varía sinusoidalmente en el rango de 0 a 0.1, y el otro, de 0 a 0.2, se muestran en las figuras.

En la fig. La Figura 1 muestra la distribución de energía espectral-temporal obtenida usando la pseudotransformada de Wigner con un tamaño de ventana de Nwin = 500 conteos . La abscisa muestra el tiempo (aumentando de izquierda a derecha), la ordenada muestra la frecuencia digital. Las partes más oscuras de la distribución corresponden a una mayor intensidad.

A modo de comparación, en la Fig. La figura 2 muestra el espectrograma de Fourier calculado con el mismo tamaño de ventana.

Cualitativamente, se puede observar que la distribución espectral-temporal de Wigner-Villa (Fig. 1) tiene una mayor resolución frecuencia-tiempo en comparación con el espectrograma (Fig. 2).

A medida que aumenta el tamaño de la ventana, aumenta el número y la intensidad de los componentes de frecuencia secundarios en la distribución de Wigner-Ville, lo que puede complicar el análisis de los componentes de frecuencia principales (Fig. 3).

Notas

↑ Cohen, 1989 .
↑ 1 2 Lazorenko, 2008 .
↑ 1 2 3 4 Lupov, 2011 .
↑ 1 2 3 Disertación, 2012 .
↑ PSELab .

Literatura

Cohen L. Tiempo - distribuciones de frecuencia: una revisión // TIER. - 1989. - T. 77 , N º 10 . - S. 72-120 .
Lazorenko OV Señales de superbanda ancha y procesos físicos. 2. Métodos de análisis y aplicación // Radiofísica y radioastronomía. - 2008. - T. 13 , N º 4 . - S. 270-322 .
Lupov S. Yu., Krivosheev V. I. Modificación de la transformada de Wigner-Wiel para el análisis de datos interferométricos de procesos dinámicos de gases // Boletín de la UNN. - 2011. - Nº 5 (3) . - S. 95-103 .
Lupov S. Yu. Análisis de frecuencia - tiempo de datos interferométricos sobre procesos dinámicos de gases: tesis para el grado de candidato de ciencias físicas y matemáticas (01.04.03 - Radiofísica) . - N. Novgorod , 2012. - 147 p.

Enlaces

PSELab . - El producto de software gratuito le permite calcular la distribución espectral-temporal de señales no estacionarias por varios métodos (transformada de Wigner-Villa, etc.). Le permite estimar la densidad espectral de potencia del segmento de señal por varios métodos ( periodograma , método Prony , MÚSICA , etc.). Consultado el 29 de agosto de 2013. Archivado desde el original el 16 de septiembre de 2013. (indefinido) .
Algunas funciones de ventana y sus parámetros .