Recta numérica extendida

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Una recta numérica extendida ( afínmente extendida ) es un conjunto de números reales , complementados por dos puntos en el infinito : (infinito positivo) e (infinito negativo), es decir, . Debe entenderse que no son números y tienen una naturaleza ligeramente diferente, pero para ellos, al igual que para los números reales, también se define la relación de orden . Además, los elementos mismos se consideran desiguales entre sí. [una] $\matemáticas {R}$ $+\infty$ $-\infty$ ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty ;-\infty \}=[-\infty ;+\infty ]$ $-\infty,+\infty$ $-\infty$ $+\infty$

En este caso, para cualquier número real , por definición, se supone que se satisfacen las desigualdades . En algunos materiales didácticos, el término "recta numérica extendida" se usa en relación con una recta numérica extendida por un punto en el infinito , no relacionada con los números reales por una relación de orden, por lo tanto, a veces, para aclarar, una línea con un infinito es llamados proyectivamente extendidos , y con dos- afines extendidos . [2] $x \en \mathbb{R}$ $-\infty <x<+\infty$

El signo más de un elemento a menudo no se omite como con otros números positivos para evitar confusiones con el infinito sin signo de la recta numérica proyectivamente extendida. Sin embargo, a veces el signo aún se omite y, en tales casos, el infinito proyectivo generalmente se denota como . $+\infty$ $\pm\infty$

Ordenar

El conjunto de los números reales está linealmente ordenado con respecto a . Sin embargo, no hay elementos máximos y mínimos . Si consideramos un sistema de números reales como un conjunto ordenado linealmente, entonces su extensión al sistema consiste simplemente en sumar los elementos máximo ( ) y mínimo ( ). $\matemáticas {R}$ $\leqslant$ $\matemáticas {R}$ $\overline{\mathbb{R))$ $+\infty$ $-\infty$

Debido a esto, cualquier conjunto no vacío en el sistema tiene un límite superior exacto (finito si el conjunto está acotado por arriba y si no está acotado por arriba ). Una declaración similar también es válida para el límite inferior mínimo . Esto explica la conveniencia de introducir los elementos y . [3] [4] $\overline{\mathbb{R))$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$

Hay 3 tipos de intervalos en la recta numérica extendida : intervalo, medio intervalo y segmento.

{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \))

- intervalo

{\displaystyle (\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x\leq \beta \))

, - medio intervalo

{\displaystyle [\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x<\beta \))

{\displaystyle [\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x\leq \beta \))

- segmento de línea

Dado que aquí los infinitos son los mismos elementos iguales que los números, los intervalos finitos e infinitos no se distinguen como tipos separados de intervalos. [5]

Topología

La relación de orden genera una topología en . En topología, los espacios abiertos son espacios de la forma: $<$ $\tau$ $\overline{\mathbb{R))$ $\tau$

{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \))

{\displaystyle (\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x>\alpha \))

[-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x<\beta \}

[-\infty,+\infty]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\}

donde _ Los conjuntos abiertos , por otro lado, se definen como todas las uniones posibles de intervalos abiertos. $\alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} ))$

Alrededores

Una vecindad de un punto es cualquier conjunto abierto que contiene este punto. Y, como se desprende de la definición de conjuntos abiertos de topología , cada vecindad de un punto incluye uno de los huecos abiertos que contienen . $tu(a)$ $a\in {\overline {\mathbb {R} }}$ $\tau$ $a$ $a$

En los cursos de análisis matemático, generalmente se introduce un concepto más particular : la vecindad de un punto en la línea real extendida ( ). $\varepsilon$ $U_{{\varepsilon}}(a)$ $\varepsilon >0$

En el caso , es decir, cuando es un número, -vecindario se llama conjunto: $a\in {\matemáticas {R}}$ $a$ $\varepsilon$ $a$

U_{{\varepsilon }}(a){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).

Si , entonces: $a=+\infty$

U_{{\varepsilon }}(+\infty){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}),+\infty \right] ,

y si , entonces: $a=-\infty$

U_{{\varepsilon }}(-\infty ){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\left[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right) .

El concepto de -vecindades para números infinitos se define de tal manera que en todos los casos - cuando es un número real, o uno de los infinitos - cuando el número decrece, las vecindades correspondientes decrecen: . [6] $\varepsilon$ $a$ $\varepsilon$ $0<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}\Rightarrow U_{{\varepsilon _{1}}}(a)\subconjunto U_{{\varepsilon _{2}}}(a)$

Las vecindades perforadas y las vecindades se definen respectivamente como vecindades y vecindades de las que se ha eliminado el punto en sí. $\varepsilon$ $\varepsilon$

Límites

En muchos cursos de análisis matemático, los límites para tender a más o menos infinito a menudo se definen por separado. Además, las igualdades de los límites más y menos infinito a menudo se definen por separado. Todas estas situaciones encajan en una sola definición del límite (que corresponde a la definición topológica general del límite ). ${\overline {\mathbb{R} }}$

Vamos , donde . En particular, puede ser una función real de una variable real. deja _ Después: $f\dos puntos X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ $X\subconjunto {\overline {\mathbb {R} }}$ $F$ $x_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} }}$

\lim _{{{x\to x_{0}}}f(x)=a{\overset {{\mathrm {def}}}{\iff }}\forall \varepsilon >0\;\exists \delta > 0\;\forall x\in X\;(x\in U_{{\delta }}(x_{0})\Rightarrow f(x)\in U_{{\varepsilon }}(a))

Al mismo tiempo, la tendencia al infinito en ambos lados y la igualdad del límite del infinito sin signo no están cubiertas por esta definición. Estos casos también pueden ser cubiertos por la definición topológica general del límite, pero en una estructura diferente, a saber, en una línea real extendida proyectivamente.

A pesar de que las rectas numéricas extendidas de forma afín y proyectiva tienen estructuras diferentes, los límites en ellas están interconectados. Si el límite in es igual a uno de los infinitos, entonces in también es igual a infinito. Por el contrario, no funciona: si el límite en es igual a infinito, esto no significa que en él será igual a uno de los infinitos. Un ejemplo de esto sigue siendo el mismo en igual al infinito, pero en él no existe. Sin embargo, la conexión entre las dos estructuras aún se puede formular como un enunciado en ambas direcciones: el límite en es igual a infinito es igual a infinito si y solo si en es igual a uno de los infinitos o no existe, pero el conjunto de sus límites parciales consiste sólo desde el infinito. ${\overline {\mathbb{R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb{R} }}$ ${\ estilo de visualización \ lim _ {x \ a 0} {\ frac {1} {x}}}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb{R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb{R} }}$

Compacidad

${\overline {\mathbb{R} }}$ es un espacio compacto de Hausdorff . El espacio de los números reales es completo pero no compacto. Por lo tanto, el sistema extendido de números reales puede verse como una compactación de dos puntos . [2] En este caso, resulta ser homeoforma al segmento . Este hecho tiene una clara ilustración geométrica. Analíticamente, el homeoformismo viene dado por la fórmula: $\matemáticas {R}$ ${\overline {\mathbb{R} }}$ $\matemáticas {R}$ ${\overline {\mathbb{R} }}$ $[0,1]$ $f\dos puntos [0,1]\to {\overline {\mathbb {R} }}$

f(x)={\begin{cases}-\infty &x=0\\\operatorname {tg} \left(\pi x-{\dfrac {\pi }{2}}\right)&0< x<1\\+\infty &x=1\end{casos}}

El teorema de Bolzano-Weierstrass se cumple para cualquier secuencia, no solo para una limitada. Esto significa que cualquier secuencia en tiene una subsecuencia que converge a . Así secuencialmente compacto. ${\overline {\mathbb{R} }}$ ${\overline {\mathbb{R} }}$ ${\overline {\mathbb{R} }}$ ${\overline {\mathbb{R} }}$

Operaciones

Para números reales y elementos , se definen las siguientes acciones: $\pm\infty$

${\begin{alineado}a\pm \infty =\pm \infty +a&=+\infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \ cdot a&=\pm \infty ,&a&>0\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&<0\\{\frac {a}{\pm \infty ))&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty {a))&=\pm \infty ,&a&>0\\{\frac {\pm \ infty {a}}&=\mp \infty ,&a&<0\\a^{+\infty }&=+\infty ,&a&>1\\a^{-\infty }&=+\infty ,&0& <a<1\\a^{-\infty}&=0,&a&>1\\a^{+\infty}&=0,&0&\leq a<1\\(+\infty)^{a} &=+\infty ,&a&>0\\(+\infty )^{a}&=0,&a&<0\\\nombre del operador {ln} {+\infty }&=+\infty \end{alineado}}$

El significado de las expresiones , , , no está definido. [2] $(+\infty)-(+\infty),0\times (\pm \infty),{\frac {0}{0))$ ${\ estilo de visualización 1 ^ {\ pm \ infinito}}$ $(\pm\infty)^{0}$ $0^{0}$

Contrariamente a la creencia popular, el significado de la expresión , donde , tampoco está definido. Extender esta expresión a uno de los infinitos romperá la continuidad de la operación de división. Esto se puede ilustrar con el ejemplo de la función . Su límite en cero por la izquierda es , y por la derecha , lo que significa que no hay límite bilateral en este punto. Debido a esto, no importa cómo extendamos la definición de la función en cero, seguirá siendo discontinua. ${\frac{a}{0}}$ $un \ neq 0$ ${\frac{1}{x))$ $-\infty$ $+\infty$

La notación se encuentra a menudo o se refiere a una estructura fundamentalmente diferente: una línea numérica proyectivamente extendida, en la que el infinito es un objeto completamente diferente. ${\frac {a}{0}}=\infty$ ${\frac {a}{0}}=\pm \infty$

Propiedades algebraicas

Las siguientes igualdades significan: ambas partes son iguales o ambas no tienen sentido

$a+b=b+a$
$(a+b)+c=a+(b+c)$
$a\cdot b=b\cdot a$
$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Las siguientes igualdades son verdaderas si se define su lado derecho.

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Las siguientes propiedades son verdaderas si ambos lados de la desigualdad correcta tienen sentido

si , entonces ${\ estilo de visualización a \ leq b}$ $a+c\leq b+c;$
si , entonces $a\leq b,~c>0$ $a\cdot c\leq b\cdot c.$

Véase también

Recta numérica extendida proyectivamente

Notas

↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 64.
↑ 123 Wolframio . _ _
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 75.
↑ Rudin, 2004 , pág. 24
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. sesenta y cinco.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 66.

Literatura

Kudryavtsev, L. D. Curso de Análisis Matemático. - 5ª ed. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Números reales extendidos Affinely DW de Cantrell . El mundo matemático de Wolfram . Weisstein EW. Fecha de acceso: 9 de enero de 2022.
Rudin U. Fundamentos del análisis matemático = Principios del análisis matemático. - 3ra ed. - M. : Lan, 2004. - 320 p. — ISBN 5-8114-0443-3 .