Resolución (álgebra homológica)

El resolvente es una de las herramientas importantes del álgebra homológica , en particular, se utiliza para calcular los funtores Ext y Tor .

Resolución proyectiva

Un complejo ( X , ε ) sobre un R -módulo C es una secuencia

$\cdots~X_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}X_{n}\stackrel{d_{n}}{\longrightarrow}~\cdots~\stackrel{d_{2} }{\longrightarrow}X_{1}\stackrel{d_{1}}{\longrightarrow}X_{0}\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}C{\longrightarrow}0$ (*)

tal que el producto de dos homomorfismos sucesivos es igual a 0. Si todos los X son libres, el complejo se llama libre, si todos son proyectivos , se llama proyectivo. Si la secuencia (*) es exacta , es decir, toda homología H n ( X ) = ker d n /im d n +1 = 0 para n > 0 y H 0 ( X ) = ker d 0 /im d 1 = X 0 / im d 1 = X 0 /ker ε es isomorfo a C (suponiendo que d 0 : X 0 → 0 ), entonces este complejo se llama el resolvente de R . Dado que cualquier módulo C es un módulo cociente de uno libre, cualquier módulo C puede incluirse en alguna resolución libre (y, además, proyectiva).

El índice más pequeño k tal que todos los X n son cero para n > k se denomina longitud del resolvente. La dimensión proyectiva de un módulo es la longitud más pequeña de su resolución proyectiva. Por ejemplo, un módulo proyectivo es exactamente un módulo de dimensión proyectiva 0.

Los funtores Ext n se encuentran de acuerdo con el siguiente teorema: Si C y A son R - módulos y ε : X → C es cualquier resolución proyectiva de C , entonces Ext n ( C , A ) es isomorfo al grupo de cohomología H n ( X , UN ) = H norte (Hom R ( X , UN ) ) . Los funtores Tor n se encuentran de acuerdo con el siguiente teorema: Si C y A son módulos R y ε : X → C es cualquier resolución proyectiva de C , entonces Tor n ( C , A ) es isomorfo al grupo de homología H n ( X ⊗ R UN ) .

Resolución inyectiva

Un complejo ( Y , ε ) bajo un R -módulo A es una secuencia:

$0{\longrightarrow}A\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}Y^{0}\stackrel{\delta^{1}}{\longrightarrow}Y^{1}\stackrel{\delta^{2}} {\longrightarrow}~...~\stackrel{\delta^{n}}{\longrightarrow}Y^{n}\stackrel{\delta^{n+1}}{\longrightarrow}Y^{n+1 }{\longrightarrow}~\cdots$ (**)

tal que el producto de dos homomorfismos sucesivos es 0. Si todos los Y son inyectivos , se dice que el complejo es inyectivo. Si la secuencia (**) es exacta, es decir, toda cohomología H n ( Y ) = ker δ n +1 /im δ n = 0 para n > 0 y H 0 ( Y ) = ker δ 1 /im δ 0 = ker δ 1 = im ε es isomorfo a A (asumiendo que δ 0 : 0 → Y 0 ), entonces este complejo se llama un resolvente central (normalmente, en este caso, se omite “ko” y se habla de una resolución inyectiva) . Dado que cualquier módulo A es un submódulo de una inyectiva, y así sucesivamente, cualquier módulo A puede incluirse en alguna resolución inyectiva.

Los funtores Ext n se encuentran de acuerdo con el siguiente teorema: Si C y A son R - módulos y ε : A → Y es cualquier resolución inyectiva de A , entonces Ext n ( C , A ) es isomorfo al grupo de cohomología H n ( Hom R ( C , Y ) ) .

Literatura

Cartan A. , Eilenberg S. Álgebra homológica. - M: IL, 1960
McLane S. Homología. - M: Mir, 1966