Un módulo proyectivo es uno de los conceptos básicos del álgebra homológica . Desde el punto de vista de la teoría de categorías , los módulos proyectivos son un caso especial de objetos proyectivos .
Un módulo sobre un anillo (usualmente considerado asociativo con un elemento de identidad) se llama proyectivo si para cada homomorfismo y epimorfismo existe un homomorfismo tal que , es decir, el diagrama dado es conmutativo:
El ejemplo más simple de un módulo proyectivo es un módulo libre . En efecto, sean elementos de la base del módulo y . Como es un epimorfismo, uno puede encontrar tal que . Luego se puede determinar estableciendo sus valores en los vectores base como .
Para anillos de polinomios en varias variables sobre un campo , cualquier módulo proyectivo es libre.
En general este no es el caso, aunque es fácil probar el teorema de que un módulo es proyectivo si y sólo si existe un módulo tal que la suma directa es libre. De hecho, si hay un componente de la suma directa , que es un módulo libre, y es un homomorfismo, entonces también es un homomorfismo ( es la proyección de la suma directa sobre el primer sumando ), y como sabemos que los módulos libres son proyectivos, existe un homomorfismo tal que , por lo tanto , donde es el homomorfismo de inclusión , por lo tanto
Por el contrario, sea un módulo proyectivo. Cada módulo es una imagen homomórfica de un módulo libre. Sea el epimorfismo correspondiente. Entonces el isomorfismo idéntico será igual para algunos , ya que es proyectivo. Cualquier elemento puede entonces ser representado como
,donde es isomorfo .