Módulo proyectivo

Un módulo proyectivo es uno de los conceptos básicos del álgebra homológica . Desde el punto de vista de la teoría de categorías , los módulos proyectivos son un caso especial de objetos proyectivos .

Definición

Un módulo sobre un anillo (usualmente considerado asociativo con un elemento de identidad) se llama proyectivo si para cada homomorfismo y epimorfismo existe un homomorfismo tal que , es decir, el diagrama dado es conmutativo: $PAGS$ $A$ $g\colon P\to M$ $f\dos puntos N\a M$ $h\colon P\to N$ ${\ estilo de visualización g = fh}$

El ejemplo más simple de un módulo proyectivo es un módulo libre . En efecto, sean elementos de la base del módulo y . Como es un epimorfismo, uno puede encontrar tal que . Luego se puede determinar estableciendo sus valores en los vectores base como . $F$ $x_{1},x_{2},\ldots,x_{i},\ldots$ $F$ $g(x_{i})=y_{i}$ $F$ $z_{yo}$ $f(z_{i})=y_{i}$ $h$ ${\displaystyle h(x_{i})=z_{i))$

Para anillos de polinomios en varias variables sobre un campo , cualquier módulo proyectivo es libre.

En general este no es el caso, aunque es fácil probar el teorema de que un módulo es proyectivo si y sólo si existe un módulo tal que la suma directa es libre. De hecho, si hay un componente de la suma directa , que es un módulo libre, y es un homomorfismo, entonces también es un homomorfismo ( es la proyección de la suma directa sobre el primer sumando ), y como sabemos que los módulos libres son proyectivos, existe un homomorfismo tal que , por lo tanto , donde es el homomorfismo de inclusión , por lo tanto $PAGS$ $k$ $F=P\oplus K$ $PAGS$ $F$ $g\colon P\to M$ $gp_{1}\dos puntos F\to M$ $p_{1}$ $F$ $PAGS$ $h_{1}\dos puntos F\to N$ ${\displaystyle gp_{1}=fh_{1))$ $gp_{1}i_{1}=fh_{1}i_{1}$ $i_1$ ${\ estilo de visualización P \ a F}$

g=fh_{1}i_{1}\colon P\to M

Por el contrario, sea un módulo proyectivo. Cada módulo es una imagen homomórfica de un módulo libre. Sea el epimorfismo correspondiente. Entonces el isomorfismo idéntico será igual para algunos , ya que es proyectivo. Cualquier elemento puede entonces ser representado como $PAGS$ $g\dos puntos F\to P$ ${\ ID de estilo de visualización \ dos puntos P \ a P}$ ${\ ID de estilo de visualización = gh}$ $h\dos puntos P\to F$ $PAGS$ $F$

x=hg(x)+(x-hg(x))\in \mathrm {Im} \,h\oplus \mathrm {Ker} \,g

donde es isomorfo . $\mathrm {Im} \,h$ $PAGS$

Propiedades

$PAGS$ es proyectivo si y solo si para cualquier epimorfismo el homomorfismo inducido es un epimorfismo. $f\dos puntos N\a M$ $f_{*}\colon {\text{Hom}}(P,N)\to {\text{Hom}}(P,M)$
$PAGS$ es proyectivo si y solo si mapea cualquier secuencia exacta corta a la secuencia exacta . $0\a A\a B\a C\a 0$ $0\a {\text{Hom}}(P,A)\a {\text{Hom}}(P,B)\a {\text{Hom}}(P,C)\a 0$
Una suma directa de módulos es proyectiva si y solo si todo término es proyectivo.

Véase también

Literatura

Kartan A., Eilenberg S. Álgebra homológica. — M. : IL, 1960
McLane S. Homología. - M. : Mir, 1966..