Álgebra homológica

El álgebra homológica es una rama del álgebra que estudia los objetos algebraicos tomados de la topología algebraica .

El álgebra homológica juega un papel importante en la topología algebraica; se utiliza en muchas ramas del álgebra, como la teoría de grupos, la teoría del álgebra, la geometría algebraica, la teoría de Galois.

Historia

Los primeros métodos homológicos en álgebra fueron utilizados en los años 40 del siglo XX por Dmitry Konstantinovich Faddeev , Samuel Eilenberg y Saunders MacLane en el estudio de extensiones de grupos.

Complejo de cadenas

Un complejo de cadena es un módulo graduado con diferencial , , que reduce la calificación de un complejo de cadena , o aumenta la calificación de un complejo de cocadena , .

Uno de los conceptos básicos del álgebra homológica es el complejo de cadenas. Los complejos de cadenas surgen en varias ramas de las matemáticas: en topología algebraica, álgebra conmutativa y geometría algebraica. El estudio de las propiedades generales de los complejos es una de las principales tareas del álgebra homológica.

Resolución

La resolución proyectiva de un módulo , se denomina complejo izquierdo , en el que todos son proyectivos y cuya homología es igual a cero, excepto cero.

Las resoluciones proyectivas se utilizan para calcular los funtores Tor n ( A , C ) y Ext n ( A , C ). Los resolventes surgieron en topología algebraica para calcular las homologías de un producto topológico a partir de las homologías de los factores utilizando la fórmula de Künneth.

Funtores derivados

Literatura

• A. Cartan, S. Eilenberg , "Álgebra homológica", 1960.
• S. McLane , "Homología", 1966
• R. Godeman "Topología algebraica y teoría de poleas", 1961.
• Bourbaki , "Álgebra homológica", 1987.