Género de una función entera

Definición

Sea la secuencia de ceros de una función entera tal que la serie converge en , donde es algún entero no negativo (sin pérdida de generalidad, supondremos que este número es el más pequeño de los que tienen esta propiedad). Entonces el producto infinito de la formulación del teorema de Weierstrass toma la forma: $\{un}\}$ $F$ $\sum _{1}^{\infty}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{{p_{n}+1}}$ $p_{n}=\rho$ $\rho$

$f(z)=z^{\lambda }e^{{h(z)}}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}} \right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right )^{2}+\dots +{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{\rho }\right).$

Si es un polinomio de grado , entonces se llama función entera de género finito , y el número se llama género de una función entera. Si no es un polinomio, o la serie no converge bajo ninguna condición, entonces es una función completa de género infinito . $h(z)$ $\rho_{1}$ $F$ $\max(\rho ;\rho _{1})$ $h$ $F$

Teorema de Poincaré sobre la tasa de crecimiento de una función completa

La importancia de una característica como el género radica en el hecho de que puede usarse para estimar la tasa de crecimiento de una función completa. Es decir, considere la cantidad . El enunciado del teorema de Poincaré es que la tasa de crecimiento de esta función está relacionada con su género. Es decir, para toda una función de género y una función arbitraria , existe tal que, para , se cumple la desigualdad . $M(r)=\max _{{{|z|=r}}|f(z)|$ $F$ $\rho$ $\alfa >0$ $r_{0}$ $r>r_{0}$ $M(r)<e^{{\alfa r^{{\rho +1))))$