Trabajo infinito

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En matemáticas , para una secuencia de números, un producto infinito [1] $a_{1},a_{2},a_{3},\puntos$

\prod_{n=1}^{\infty}a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\dots

se define como el límite de productos parciales en . Un producto se llama convergente cuando el límite existe y es distinto de cero. De lo contrario, el producto se llama divergente . El caso en que el límite es cero se considera por separado para obtener resultados similares a los de sumas infinitas . ${\displaystyle a_{1}a_{2}\puntos a_{n))$ $n\to\infty$

Si todos los números son positivos, entonces se puede aplicar la operación logarítmica. Entonces el estudio de la convergencia de un producto infinito se reduce al estudio de la convergencia de una serie de números . $a_{1},a_{2},a_{3},\puntos$

Convergencia

Si el producto converge, entonces se debe satisfacer la igualdad límite . Por lo tanto, el logaritmo se define para todos menos para un número finito de valores, cuya presencia no afecta la convergencia. Eliminando este número finito de términos de la sucesión, obtenemos la igualdad: $\lim _{n\to \infty}a_{n}=1$ ${\ estilo de visualización \ ln a_ {n}}$ $norte$ $\{un}\}$

\ln \prod _{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty}\ln a_{n},

en el que la convergencia de una suma infinita en el lado derecho es equivalente a la convergencia de un producto infinito en el lado izquierdo. Esto nos permite reformular el criterio de convergencia de sumas infinitas en un criterio de convergencia de productos infinitos. Para productos tales que para cualquier , denotamos , entonces y , de donde se sigue la desigualdad: $norte$ ${\ Displaystyle a_ {n} \ geqslant 1}$ $p_{n}=a_{n}-1$ $a_{n}=p_{n}+1$ $p_{n}\geqslant0$

1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leqslant \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leqslant \ exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)

lo que demuestra que un producto infinito converge si y solo si una suma infinita converge . ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty}a_{n))$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}p_{n))$

Ejemplos

Ejemplos notables de productos infinitos, fórmulas para un número $\Pi$ , descubiertos respectivamente por François Viet y John Wallis :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{ 2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

;

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\ cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot { \frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty}\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right )

Identidad de Euler para la función zeta

\zeta (x)={\frac {1}{1-2^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-x}}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1 -p^{-x}}}

donde el producto se toma sobre todos los números primos . Este producto converge para . $\displaystyle p$ $x>1$

Representar una función como un producto infinito

En análisis complejo , se sabe que el seno y el coseno se pueden descomponer en un producto infinito de polinomios.

\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty}\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right )

\cos \pi z=\prod _{n=0}^{\infty}\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\ Correcto)

Estas expansiones son consecuencia del teorema general de que cualquier función entera con un número máximo de ceros contables , donde el punto 0 es el cero de orden , puede representarse como un producto infinito de la forma $F$ $\{0\}\taza \{a_{n}\}\a \infty$ $\lambda$

$f(z)=z^{\lambda }e^{{h(z)}}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}} \right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right )^{2}+\puntos +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{{p_{n}}} \Correcto)$ ,

donde es alguna función entera, y los enteros no negativos se eligen de tal manera que la serie converja. En , se omite el número exponencial correspondiente al multiplicador (se considera igual a ). $h$ $p_n$ $\sum _{1}^{\infty}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{{p_{n}+1}}$ $p_{n}=0$ $norte$ $\exp(0)=1$

Notas

↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - M. : Nauka, 1970. - T. 2. - S. 350-364.

Enlaces

Productos infinitos de Wolfram Math World