Curvatura seccional

La curvatura seccional es una forma de describir la curvatura de las variedades de Riemann .

Definición

La curvatura de la sección es una función de , que depende de la dirección de la sección en un punto (es decir, un plano bidimensional en el espacio tangente en ). Es igual a la curvatura gaussiana de la superficie formada por el mapeo exponencial, medida en el punto . ${\ estilo de visualización K (\ sigma)}$ $\sigma$ $pags$ $pags$ $pags$

Propiedades

Si son dos vectores linealmente independientes en , entonces ${\ estilo de visualización v, \; u}$ $\sigma$ $K(\sigma)=K(u,\;v)/|u\cuña v|^{2},$ dónde $K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle ,$

a denota la transformación de curvatura .

{\ estilo de visualización R (u, \; v)}

- Esta fórmula se puede reescribir de la siguiente manera $K(\sigma)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2 }}.$

La siguiente fórmula muestra que la curvatura de la sección describe completamente el tensor de curvatura: $6\cdot \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =$ $[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)- K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-$ $[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)- K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].$
- en una forma más simple, usando derivadas parciales : $\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial s\t parcial}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)= (0,\;0)}.$

El teorema de comparación de Toponogov da una condición sobre los ángulos de un triángulo en una variedad de Riemann que es equivalente a la acotación de su curvatura seccional por alguna constante.