Medioperpendicular

Midperpendicular (también midperpendicular y término obsoleto mediatris ) es una línea recta perpendicular al segmento dado y que pasa por su centro .

Propiedades

Las bisectrices perpendiculares a los lados de un triángulo (u otro polígono para el cual existe un círculo circunscrito) se intersecan en un punto: el centro del círculo circunscrito . En un triángulo acutángulo este punto está dentro, en un triángulo obtuso está fuera del triángulo, en un triángulo rectángulo está en el medio de la hipotenusa.
Cualquier punto de la bisectriz perpendicular a un segmento es equidistante de los extremos de este segmento.
- La afirmación inversa también es cierta: cada punto equidistante de los extremos del segmento se encuentra en la bisectriz perpendicular a él.
En un triángulo isósceles, la altura, la bisectriz y la mediana trazadas desde el vértice de un ángulo de lados iguales coinciden y son la bisectriz perpendicular trazada a la base del triángulo, y las otras dos bisectrices perpendiculares son iguales entre sí.
Los segmentos de las perpendiculares medias a los lados del triángulo, encerrados dentro de él, se pueden encontrar mediante las siguientes fórmulas [1] :

p_{a}={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},\;\;p_{b}={\frac {2bS} {a^{2}+b^{2}-c^{2}}},\;\;p_{c}={\frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c ^{2}}},

donde el subíndice indica el lado al que se dibuja la perpendicular : el área del triángulo, y también se supone que los lados están relacionados por desigualdades

S

a\geqslant b\geqslant c.

Si los lados del triángulo satisfacen las desigualdades , entonces las desigualdades son verdaderas [1] : ${\ estilo de visualización a \ geq b \ geq c}$

{\displaystyle p_{a}\geq p_{b))

y En otras palabras, la menor es la bisectriz perpendicular dibujada hacia el lado con una longitud intermedia.

p_{c}\geq p_{b}.

Variaciones y generalizaciones

El círculo de Apolonio es el lugar geométrico de los puntos en un plano, la relación de las distancias desde las cuales a dos puntos dados es un valor constante.

Notas

↑ 1 2 Mitchell, Douglas W. Bisectrices perpendiculares de lados de triángulos // Forum Geometricorum. - 2013. - Vol. 13. - P. 53-59, Teoremas 2, 4.

Literatura

Geometría según Kiselyov .