Punto medio

El punto medio de un segmento es un punto en un segmento dado que está a la misma distancia de ambos extremos del segmento dado. Es el centro de masa tanto de todo el segmento como de sus puntos finales.

Coordenadas

El punto medio del segmento en el espacio -dimensional, cuyos extremos son los puntos y , viene dado por la fórmula: $norte$ $A=(a_{1},a_{2},\puntos,a_{n})$ $B=(b_{1},b_{2},\puntos,b_{n})$

{\frac{A+B}{2))

Así, la coordenada -ésima del punto medio ( ) es: $i$ ${\ estilo de visualización i = 1,2, \ puntos, n}$

{\frac{a_{i}+b_{i}}{2}}

Edificio

Si se dan dos puntos, se puede encontrar el medio del segmento formado por ellos usando un compás y una regla . Para encontrar el punto medio de un segmento en un plano , primero puede construir dos arcos de radio igual (y suficientemente grande) con centros en los extremos del segmento y luego dibujar una línea recta a través de los puntos de intersección de estos arcos. El punto donde la línea recta resultante se cruza con el segmento es su punto medio.

Usando el teorema de Mohr-Mascheroni, también es posible encontrar el medio de un segmento usando solo una brújula: en el primer paso , se construye un punto para el segmento , simétrico al punto con respecto al punto ; en el segundo paso , la inversión del punto se construye en relación con el círculo de radio centrado en el punto ; el punto resultante es el punto medio del segmento [1] [2] [3] . ${\ estilo de visualización (AB)}$ $C$ $A$ $B$ $C$ $|AB|$ $A$ ${\ estilo de visualización (AB)}$

También puedes construir el punto medio de un segmento usando solo una regla, siempre que haya un círculo en el plano con un centro marcado [4] .

Propiedades geométricas

El punto medio de cualquier diámetro de un círculo es el centro del círculo. Una perpendicular a cualquier cuerda que pasa por su punto medio pasa por el centro del círculo. El teorema de la mariposa establece que si es el punto medio de una cuerda y otras dos cuerdas y pasan por el punto medio , entonces cortan la cuerda en los puntos y, respectivamente, de tal forma que es el punto medio del segmento . $METRO$ $PQ$ $AB$ $CD$ $ANUNCIO$ $antes de Cristo$ $PQ$ $X$ $Y$ $METRO$ $XY$

El centro de la elipse es el punto medio del segmento que conecta los dos focos de la elipse.

El punto medio del segmento que conecta los vértices de la hipérbola es el centro de la hipérbola.

Las perpendiculares a los puntos medios de los lados de un triángulo se cortan en un punto, y este punto es el centro del círculo circunscrito . El centro de los nueve puntos del triángulo es el punto medio del segmento que conecta el centro del círculo circunscrito con el ortocentro del triángulo dado. Los vértices del triángulo medial de un triángulo dado se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo.

En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa . En un triángulo isósceles , la mediana, la altura y la bisectriz del ángulo en el vértice coinciden con la recta de Euler y el eje de simetría , y esta recta pasa por el medio de la base.

Los dos bimedianos de un cuadrilátero convexo son los segmentos de línea que conectan los puntos medios de los lados opuestos. Dos bimedianas y un segmento que conecta los puntos medios de las diagonales se cortan en un punto, que es el punto medio de estos tres segmentos [5] . El teorema de Brahmagupta establece que si un cuadrilátero inscrito en un círculo es ortodiagonal (es decir, tiene diagonales perpendiculares ), entonces las perpendiculares a los lados desde el punto de intersección de las diagonales siempre pasan por el punto medio del lado opuesto. El teorema de Varignon establece que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo , y si el cuadrilátero también es autodisjunto, entonces el área del paralelogramo es igual a la mitad del área del cuadrilátero. La recta de Newton es una recta que conecta los puntos medios de dos diagonales de un cuadrilátero convexo que no es un paralelogramo. Los segmentos de línea que conectan los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo se cortan en un punto que se encuentra en la línea de Newton.

Un polígono regular tiene una circunferencia que es tangente a todos los lados del polígono en los puntos medios de sus lados. En un polígono regular con un número par de lados, los puntos medios de las diagonales que conectan centros opuestos son el centro del polígono. Un polígono mediano es un polígono cuyos vértices son los puntos medios de los bordes del polígono original. El polígono punto medio alargado de un polígono inscrito P es otro polígono inscrito inscrito en la misma circunferencia, y sus vértices son los puntos medios de los arcos entre los vértices de P [6] . Repetir la operación de crear un polígono de puntos medios estirados da como resultado una secuencia de polígonos cuya forma converge a un polígono regular [6] [7] .

Generalizaciones

El punto medio de un segmento es un invariante afín , por lo que las fórmulas de coordenadas son aplicables a cualquier sistema de coordenadas afines .

El punto medio de un segmento no se puede definir en geometría proyectiva : cualquier punto interior de un segmento se puede mapear proyectivamente a cualquier otro punto dentro (el mismo o cualquier otro) segmento proyectivo. Fijar uno de esos puntos como un punto medio define una estructura afín en la línea proyectiva que contiene este segmento. El cuarto punto del cuadrante armónico para tal "punto medio" y dos puntos finales es el punto en el infinito [8] .

El concepto de punto medio de un segmento se puede introducir en geodésicas en una variedad de Riemann , pero a diferencia del caso afín, el punto medio de un segmento puede no ser único.

Notas

↑ Kostovsky, 1984 , pág. veinte.
↑ Courant, Robbins, 2001 , pág. 172-179.
↑ Wolfram mathworld (enlace no disponible) (29 de septiembre de 2010). Consultado el 20 de julio de 2015. Archivado desde el original el 25 de noviembre de 2016. (indefinido)
↑ Adler, 1940 , pág. 67-72.
↑ Altshiller-Court, 2007 .
↑ 1 2 Ding, Jiu, Zhang, 2003 , pág. 255-270.
↑ Gómez-Martin, Taslakian, Toussaint, 2008 .
↑ Coxeter, 1949 , pág. 119.

Literatura

A. N. Kostovsky. Construcciones geométricas con un compás. - M. : "Nauka" Edición principal de literatura física y matemática, 1984. - (Conferencias populares sobre matemáticas).
Agosto Adler. Teoría de las construcciones geométricas. - Leningrado: editorial educativa y pedagógica estatal del Comisariado Popular de Educación de la RSFSR, rama de Leningrado, 1940.
R. Courant, G. Robbins. ¿Qué son las matemáticas?. - 3ro. - MTSNMO, 2001. - ISBN 5-900916-45-6.
Jiu Ding, L. Richard Hitt, Xin-Min Zhang. Cadenas de Markov y geometría dinámica de polígonos // Álgebra lineal y sus aplicaciones. - 2003. - T. 367 . - doi : 10.1016/S0024-3795(02)00634-1 .
Francisco Gómez-Martin, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint. 18º Taller de Otoño sobre Geometría Computacional . — 2008.
HSM Coxeter . El Plano Proyectivo Real. - Nueva York, Toronto, Londres: McGraw-Hill, 1949.
H. S. M. Coxeter. Plano proyectivo real. - M. : Fizmatlit, 1959.
Nathan Altshiller-Court. Geometría universitaria. - Mineola, Nueva York: Dover Publ., 2007. - ISBN 0-486-45805-9 .

Enlaces

Animación : muestra las características del punto medio de un segmento de línea
¿Qué es la fórmula del punto medio?