Ley de Arquímedes

Ley de Arquímedes - la ley de la hidrostática y la aerostática : un cuerpo sumergido en un líquido o gas actúa sobre una fuerza de flotación igual al peso de la sustancia desplazada. La ley fue descubierta por Arquímedes en el siglo III a. mi. La fuerza de flotación también se denomina fuerza de Arquímedes o sustentación hidrostática [1] [2] (no debe confundirse con la sustentación aerodinámica e hidrodinámica , que se produce cuando un gas o líquido fluye alrededor de un cuerpo).

Dado que la fuerza de Arquímedes se debe a la fuerza de la gravedad, no actúa en la ingravidez.

De acuerdo con la ley de Arquímedes para la fuerza de flotabilidad se cumple [3] :

F_{A}=\rhogV,

dónde:

$\rho$ - densidad del líquido o del gas, kg / m 3 ;
$gramo$ - aceleración de caída libre , m / s 2 ;
$V$ - el volumen de una parte del cuerpo sumergida en un líquido o gas, m 3 ;
${\ estilo de visualización F_ {A}}$ es la fuerza de Arquímedes, N .

Descripción

La fuerza de flotación o sustentación en la dirección opuesta a la fuerza de gravedad , se aplica al centro de gravedad del volumen desplazado por el cuerpo de un líquido o gas.

Si el cuerpo flota (ver cuerpos flotantes ) o se mueve uniformemente hacia arriba o hacia abajo, entonces la fuerza de flotación o sustentación es igual en valor absoluto a la fuerza de gravedad que actúa sobre el volumen de líquido o gas desplazado por el cuerpo.

Por ejemplo, un globo lleno de helio sale volando debido a que la densidad del helio ( ) es menor que la densidad del aire ( ): $V$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {H}}$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {O}}$

$F_{A}>F_{p};$
${\ estilo de visualización \ rho _ {O} gV> \ rho _ {H} g V.}$

La ley de Arquímedes se puede explicar usando la diferencia de presión hidrostática usando el ejemplo de un cuerpo rectangular sumergido en un líquido o gas. Debido a la simetría de un cuerpo rectangular, las fuerzas de presión que actúan sobre las caras laterales del cuerpo están balanceadas. La presión ( ) y la fuerza de presión ( ) que actúan sobre la cara superior del cuerpo son iguales: $P_{A}$ ${\ estilo de visualización F_ {A}}$

P_{A}=\rhogh_{A};

F_{A}=\rho gh_{A}S,

dónde:

$P_{A}$ - presión ejercida por un líquido o gas sobre la cara superior del cuerpo, Pa ;
${\ estilo de visualización F_ {A}}$ - fuerza de presión que actúa sobre la cara superior del cuerpo y dirigida hacia abajo, N ;
$\rho$ - densidad del líquido o del gas, kg / m 3 ;
$h_{A}$ - la distancia entre la superficie del líquido o gas y la cara superior del cuerpo, m ;
$S$ - el área de la sección transversal horizontal del cuerpo, m 2 .

La presión ( ) y la fuerza de presión ( ) que actúan sobre la cara inferior del cuerpo son iguales a: $P_{B}$ ${\ estilo de visualización F_ {B}}$

P_{B}=\rho gh_{B};

F_{B}=\rho gh_{B}S,

dónde:

$P_{B}$ - presión ejercida por un líquido o gas sobre la cara inferior del cuerpo, Pa ;
${\ estilo de visualización F_ {B}}$ - fuerza de presión que actúa sobre la cara inferior del cuerpo y dirigida hacia arriba, N ;
$h_{B}$ - la distancia entre la superficie de un líquido o gas y la cara inferior del cuerpo, m .

La fuerza de presión de un líquido o gas sobre un cuerpo está determinada por la diferencia de fuerzas y : ${\ estilo de visualización F_ {B}}$ ${\ estilo de visualización F_ {A}}$

F_{B}-F_{A}=\rho gh_{B}S-\rho gh_{A}S=\rho g\left(h_{B}-h_{A}\right)S=\ rho ghS=\rho gV,

dónde:

$h=h_{B}-h_{A}$ - la distancia entre las caras superior e inferior del cuerpo (en caso de inmersión parcial, la altura de la parte del cuerpo sumergida en líquido o gas), m ;
$V$ - el volumen del cuerpo sumergido en un líquido o gas (en caso de inmersión parcial, el volumen de una parte del cuerpo sumergido en un líquido o gas), m 3 .

Diferencia de presión:

P_{B}-P_{A}=\rho gh_{B}-\rho gh_{A}=\rho gh.

En ausencia de campo gravitatorio, es decir, en estado de ingravidez , la ley de Arquímedes no funciona. Los astronautas están bastante familiarizados con este fenómeno. En particular, en la ingravidez no hay fenómeno de convección (natural) , por lo que, por ejemplo, la refrigeración por aire y la ventilación de los compartimentos habitables de las naves espaciales deben ser forzados por ventiladores .

Generalizaciones

Un cierto análogo de la ley de Arquímedes también es válido en cualquier campo de fuerzas que actúen de manera diferente sobre un cuerpo y sobre un líquido (gas), o en un campo no homogéneo. Por ejemplo, esto se aplica al campo de fuerzas de inercia (por ejemplo, al campo de fuerza centrífuga ); la centrifugación se basa en esto . Un ejemplo para un campo de naturaleza no mecánica: un diaimán en el vacío se desplaza de una región de un campo magnético de mayor intensidad a una región de menor intensidad.

Derivación de la ley de Arquímedes para un cuerpo de forma arbitraria

Inferencia a través de experimentos mentales

Si reemplazas mentalmente un cuerpo sumergido en un líquido con el mismo líquido, una porción de agua colocada mentalmente en el mismo volumen estará en equilibrio y actuará sobre el agua circundante con una fuerza igual a la fuerza de la gravedad que actúa sobre una porción de agua. . Dado que no hay mezcla de partículas de agua, se puede argumentar que el agua circundante actúa sobre el volumen seleccionado con la misma fuerza, pero dirigida en dirección opuesta, es decir, con una fuerza igual a [4] [5] [6 ] . $mg=\rhogV$

Cálculo riguroso de la fuerza

La presión hidrostática en profundidad ejercida por un líquido con una densidad sobre el cuerpo es . Deje que la densidad del líquido ( ) y la fuerza del campo gravitacional ( ) sean valores constantes y un parámetro. Tomemos un cuerpo de forma arbitraria con un volumen distinto de cero. Introducimos un sistema de coordenadas ortonormales a la derecha y elegimos la dirección del eje z para que coincida con la dirección del vector . El cero a lo largo del eje z se establece en la superficie del líquido. Destaquemos un área elemental en la superficie del cuerpo . La fuerza de presión del fluido dirigida dentro del cuerpo actuará sobre él . Para obtener la fuerza que actuará sobre el cuerpo, tomamos la integral sobre la superficie: $pags$ $h$ $\rho$ $p=\rhogh$ $\rho$ $gramo$ $h$ $Oxyz$ ${\vec{g}}$ $dS$ $d{\vec {F}}_{A}=-pd{\vec {S}}$

{\vec {F}}_{A}=-\int \limits _{S}{p\,d{\vec {S}}}=-\int \limits _{S}{\rho gh\,d{\vec {S}}}=-\rho g\int \limits _{S}{h\,d{\vec {S}}}=^{*}-\rho g\int \ límites _ {V} {\ nombre del operador {grado} (h) \, dV} = ^ {**}-\ rho g \ int \ límites _ {V} {{\ vec {e}}_ {z} dV} =-\rho g{\vec {e}}_{z}\int \limits _{V}{dV}=(\rho gV)(-{\vec {e}}_{z}).

En la transición de la integral sobre la superficie a la integral sobre el volumen, usamos el teorema generalizado de Ostrogradsky-Gauss .

{}^{*}h(x,y,z)=z;

^{**}\operatorname {graduado} h=\nabla h={\vec {e}}_{z}.

Obtenemos que el módulo de la fuerza de Arquímedes es , y la fuerza de Arquímedes está dirigida en la dirección opuesta a la dirección del vector de fuerza del campo gravitatorio. ${\ estilo de visualización \ rho gV}$

Derivación a través de la ley de conservación de la energía

La ley de Arquímedes también se puede derivar de la ley de conservación de la energía. El trabajo de la fuerza que actúa desde el cuerpo sumergido sobre el líquido conduce a un cambio en su energía potencial:

\ A=-F*(h_{1}-h_{2})=-\Delta E_{p}=-m_{\text{w))g\Delta h,

donde es la masa de la parte desplazada del líquido, es el desplazamiento de su centro de masa. Por lo tanto, el módulo de la fuerza de desplazamiento: $m_{\text{w))$ $\Delta h$

\F=m_{\text{w}}g.

Según la tercera ley de Newton, esta fuerza es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza de Arquímedes que actúa desde el lado del líquido sobre el cuerpo. El volumen del líquido desplazado es igual al volumen de la parte sumergida del cuerpo, por lo que la masa del líquido desplazado se puede escribir como:

\ m_{\text{w))=\rho _{\text{w))V_{\text{m)),

donde es el volumen de la parte sumergida del cuerpo.

V_{\text{t))

Así, para la fuerza de Arquímedes tenemos:

\ F_{A}=\ F=m_{\text{x))g=\rho_{\text{x))gV_{\text{m)).

Condición de flotación de cuerpos

El comportamiento de un cuerpo en un líquido o gas depende de la relación entre los módulos de gravedad y la fuerza de Arquímedes que actúan sobre dicho cuerpo. Son posibles los siguientes tres casos: ${\ estilo de visualización F_ {T}}$ ${\ estilo de visualización F_ {A}}$

$F_{T}>F_{A}$ - el cuerpo se hunde;
$F_{T}=F_{A}$ - un cuerpo flota en un líquido o gas;
$F_{T}<F_{A}$ - el cuerpo flota hasta que empieza a flotar.

Otra formulación (donde es la densidad del cuerpo, es la densidad del medio en el que se sumerge el cuerpo): ${\ estilo de visualización \ rho _ {t}}$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {s}}$

${\ estilo de visualización \ rho _ {t}> \ rho _ {s}}$ - el cuerpo se hunde;
${\ estilo de visualización \ rho _ {t} = \ rho _ {s}}$ - un cuerpo flota en un líquido o gas;
${\ estilo de visualización \ rho _ {t} < \ rho _ {s}}$ - el cuerpo flota hasta que empieza a flotar.

Notas

↑ Ley de Arquímedes // Gran Enciclopedia Rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.
↑ Ley de Arquímedes // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Enciclopedia soviética , 1988. - T. 1: Aharonov - Efecto Bohm - Largas colas. - S. 123. - 707 pág. — 100.000 copias.
↑ Todo lo escrito a continuación, a menos que se indique lo contrario, se refiere a un campo de gravedad uniforme (por ejemplo, a un campo que actúa cerca de la superficie de un planeta ).
↑ A. Peryshkin, Prueba original de la ley de Arquímedes. . Consultado el 28 de septiembre de 2020. Archivado desde el original el 20 de julio de 2020. (indefinido)
↑ Prueba de la ley de Arquímedes para un cuerpo arbitrario . Consultado el 28 de septiembre de 2020. Archivado desde el original el 21 de septiembre de 2020. (indefinido)
↑ Flotabilidad Archivado el 14 de julio de 2007 en Wayback Machine .

Enlaces

Ley de Arquímedes // Diccionario Enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
Ley de Arquímedes // Enciclopedia " La Vuelta al Mundo ".